Основные теоремы об эквивалентных бмф 1 страница

Теорема 1:

Предел отношения двух бмф не изменится, если хотя бы одну из них заменить ей эквивалентной.

Теорема 2:

Сумма конечного числа бмф, имеющих различный порядок малости эквивалентна слагаемому, имеющему самый низкий порядок малости.

Определение: слагаемое, которому эквивалентна вся сумма бмф называется главной частью этой суммы.

РАЗДЕЛ IX. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

9.1. Определение производной. Геометрический и механический смысл:

Определение: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом, называется производной функции.

Обозначение: .

Таким образом: .

Геометрический смысл производной:

Производная функции , вычисленная в т. есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой , т.е. .

- уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

- уравнение нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Механический смысл производной:

Производная от пути по времени при прямолинейном движении точки, есть истинная или мгновенная скорость движения .

9.2. Дифференциал функции:

Определение: главная часть приращения функции линейная относительно приращения независимой переменной называется дифференциалом этой функции.

- формула нахождения дифференциала.

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции , отнесенный к точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .

9.3. Таблица производных:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

9.4. Логарифмическое дифференцирование:

Применяется для нахождения производной:

1) Степенно-показательной функции

2) От произведений и частных, содержащих большое число сомножителей:

.

Алгоритм применения:

Пусть функция положительная и дифференцируема при всех рассматриваемых .

1) Логарифмируем заданное равенство по основанию . Имеем: .

2) Дифференцируем полученное равенство по , учитывая что - независимая переменная, а - функция , тогда: .

3) Результат дифференцирования разрешаем относительно : .

4) Заменяем в последнем равенстве : .

9.5. Дифференцирование функций, заданных неявно:

Пусть как функция задана неявно, т.е.

Алгоритм:

1) Дифференцируем заданное уравнение по , учитывая, что - независимая переменная, - ее функция.

2) Результат дифференцирования разрешаем относительно искомой производной .

9.6. Дифференцирование функций, заданных параметрически:

Пусть как функция задана параметрически, т.е.

, - дифференцируемы при всех рассматриваемых , и имеет обратную .

Тогда:

9.7. Производные высших порядков:

Определение: производной - го порядка функции называется первая производная от производной порядка: ,

1) Пусть как функция задана неявно, т.е. .

Для нахождения - ой производной продифференцируем заданное равенство по последовательно раз. Результат последнего дифференцирования разрешаем относительно и представляем ее только в переменных и , для чего результаты всех промежуточных дифференцирований представлять только в переменных и .

2) Пусть как функция задана параметрически, т.е. , - дважды дифференцируемы, , функция имеет обратную .

Тогда: ,

9.8. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя:

1) Если при отношение двух функций дает неопределенность , то предел отношения этих функций можно заменить пределом отношения производных от этих функций:

Замечания:

- Правило Лопиталя остается справедливым для раскрытия неопределенности и при ;

- Правило Лопиталя можно применять несколько раз подряд, если отношение последовательных производных каждый раз дает неопределенность ;

- Правило Лопиталя применимо лишь в случае, когда существует конечный или бесконечный предел отношения производных, если этот предел не существует, то отсюда не следует, что не существует и предел отношения самих функций.

2) Если при отношение двух функций дает неопределенность , то предел отношения этих функций можно заменить пределом отношения производных от этих функций: .

Все замечания, сделанные при раскрытии неопределенности остаются справедливыми.

Таблица степени роста при

1.

2.

3.

4. , - рациональное

5.

3) Неопределенности вида .

Такие неопределенности сводятся к неопределенностям вида и , для чего необходимо или представить в виде единой дроби.

4) Неопределенности вида .

Такие неопределенности возникают при нахождении пределов от степенно-показательных функций .

Один из способов раскрытия:

9.9. Формула Тейлора:

, где

, - некоторая точка окрестности .

Формула Тейлора позволяет приближенно представлять функции в виде многочленов любой требуемой степени и определяет погрешность такого представления.

9.10. Общая схема исследования функции и построения ее графика:

1) Устанавливаем область определения , точки разрыва, интервалы непрерывности.

2) Исследуем функцию на четность, нечетность, периодичность.

3) Находим вертикальные асимптоты (ВАС):

, где - такое значение аргумента, при котором функция становится бесконечно большой.

Находим наклонные асимптоты (НАС):

, где (если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то график не имеет НАС).

4) Определяем интервалы монотонности и экстремумы с помощью первой производной.

5) Находим интервалы вогнутости, выпуклости, точки перегиба с помощью второй производной.

6) Определяем точки пересечения графика с осями координат (если с осью , то решаем уравнение , если с осью , то находим ).

7) Если график не имеет НАС, то исследуем поведение при .

8) Строит график функции.

РАЗДЕЛ X. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

10.1. Основные понятия:

Определение: комплексным числом

называется упорядоченная пара действительных чисел представленная выражением , здесь - называют мнимой единицей.

и называются комплексно-сопряженными.

Комплексное число можно изобразить точкой плоскости : с координатами или радиус вектором этой точки.

Формы записи комплексного числа:

- алгебраическая

- тригонометрическая

- показательная.

Модуль комплексного числа: .

Основное значение аргумента комплексного числа:

- аргумент комплексного числа.

Если комплексное число лежит на одной из координатных осей, то ее главный аргумент находят непосредственно.

10.2. Действия над комплексными числами:

В алгебраической форме:

Если , то

1. .

2. .

3. , учитывая .

На практике используют распределительное - ,

сочетательное - , переместительное свойства - и .

4. , но чаще .

В тригонометрической и показательной формах:

Если , то

1. .

В частности (формула Муавра):

2. .

3. .

РАЗДЕЛ XI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

11.1. Определение и свойства неопределенного интеграла:

Определение: функция называется первообразной функции в промежутке , если в каждой точке этого промежутка выполняется

равенства: или .

Определение: совокупность всех первообразных функции в называется неопределенным интегралом от этой функции в данном промежутке.

Обозначение: .

Таким образом: .

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

5.

6. Если то , где - любая непрерывно-дифференцируемая функция.

11.2. Таблица интегралов и дифференциалов:

1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.
12.	12.
13.	13.
14.	14.
15.	15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.

11.3. Общие методы интегрирования:

1. Непосредственное интегрирование: подынтегральное выражение преобразуют так, чтобы заданный интеграл можно было представить в виде одного или алгебраической суммы нескольких табличных интегралов.

2. Способ подстановки: вводят новую переменную интегрирования, так чтобы интеграл с новой переменной или был бы табличным или брался бы одним из известных способов, т.е. .

Дата добавления: 2015-06-28