Основные теоремы об эквивалентных бмф 2 страница

Алгоритм нахождения :

1) Вводим новую переменную интегрирования .

2) Представляем заданное подынтегральное выражение в переменных и .

3) Берем интеграл с новой переменной.

4) В полученной первообразной заменяем переменную на .

Применяется в случае:

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если - действительные числа ,

- любое , , то .

3. Интегрирование по частям:

Применяется при интегрировании специально подобранных функций.

- формула интегрирования по частям, где - непрерывно-дифференцируемы при всех рассматриваемых .

Алгоритм нахождения :

1) Разбиваем заданное подынтегральное выражение на два множителя и .

2) Находим и .

3) К заданному интегралу применяем формулу .

Классы функций, интегрируемых по частям:

1 класс: =

- многочлен любой степени, кроме нуля, - любое ненулевое действительное число.

2 класс: =

- многочлен любой степени, включая нулевую, - любое ненулевое действительное число.

3 класс: =

- любое ненулевое действительное число.

Замечания:

1) При нахождении интегралов первого класса формулу интегрирования по частям применяют столько раз, какова степень данного многочлена .

2) Нахождение интегралов третьего класса в итоге сводится к решению уравнения относительно заданного интеграла.

4. Интегрирование рациональных дробей:

Алгоритм нахождения :

- Проверяем, является ли заданная рациональная дробь правильной, если дробь неправильная, то представляем ее в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби (для этого в общем случае делим числитель на знаменатель, в частности используем формулы сокращенного умножения)

- Раскладываем правильную рациональную дробь на сумму простейших методом неопределенных коэффициентов.

Определение: правильные рациональные дроби вида

, где - любые действительные числа

, где - любые действительные числа,

, где

, где

называются простейшими дробями 1-4 типов.

Алгоритм представления правильной рациональной дроби в виде суммы простейших дробей:

- каждому простому действительному корню или его множителю знаменателя соответствует одна дробь ;

- каждому кратному действительному корню или его множителю знаменателя соответствуют одна дробь и дробь:

- каждой простой паре комплексно-сопряженных корней знаменателя соответствует одна дробь ;

- каждой - кратной паре комплексно-сопряженных корней знаменателя соответствуют дробь и дробь:

Алгоритм нахождения коэффициентов разложения правильной рациональной дроби (метод неопределенных коэффициентов):

- приводим правую часть разложения к общему знаменателю, получаем тождественное равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями;

- отбрасываем эти знаменатели, получаем тождество из числителей;

- в последнем тождестве последовательно придаем значения действительных корней знаменателя исходной дроби, если они есть, а затем нужное число раз сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях . Получаем СЛАУ относительно искомых коэффициентов;

- решив СЛАУ, находим коэффициенты, и значит, само разложение;

- интегрируем простейшие дроби и, если есть, целую часть:

- интегрируем либо по формуле Остроградского, либо с помощью реккурентных преобразований.

5. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических:

1.

2.

3.

4. ;

5. ;

.

6.

.

6. Интегрирование простейших алгебраических иррациональностей:

1) , где - любые действительные числа, , - любые натуральные числа, составляющие несократимые дроби.

Здесь , где - общий знаменатель дробей ;

2) , где

3) , где -любые

действительны числа неравные нулю.

4) - выделяем полный квадрат под знаком корня.

5) ;

6) - в числителе получают дифференциал подкоренного выражения;

7) , где - любые неравные нулю действительные числа, - рациональные числа :

- если - целое, то полагают , где - общий знаменатель дробей ;

- если - целое, то , где - знаменатель дроби ;

- если - целое, то , где - знаменатель дроби .

Неберущиеся интегралы:

; ; ; ; ; ; ;

.

РАЗДЕЛ XII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

12.1. Определение и свойства определенного интеграла:

Определение: конечный предел интегральной суммы функции на называется определенным интегралом от этой функции на .

Т.о. , где .

Теорема (формула Ньютона-Лейбница): Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности двух значений любой первообразной подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интегрирования: .

Основные свойства определенного интеграла:

1) ;

2) ;

3) - свойство аддитивности

4) Если на , где , то и ;

5) Интегрирование неравенств:

Если на , где , то и ;

6) Об оценке определенного интеграла:

Если - наименьшее, - наибольшее значения функции на , то

7) ;

8) Теорема о среднем: , где

9) .

12.2. Методы вычисления определенного интеграла:

- Непосредственное интегрирование (применение формулы Ньютона-Лейбница);

- Замена переменной интегрирования: . Здесь не возвращаются к исходной переменной, но сразу вводят новые пределы интегрирования.

- Интегрирование по частям: если - непрерывно-дифференцируемы на , то .

Все замечания, сделанные к аналогичному методу в неопределенном интеграле, остаются справедливыми.

- Определенный интеграл на отрезке симметричном нулю от нечетной функции равен нулю, от четной – двум интегралам, взятым по половине исходного отрезка интегрирования:

.

12.3. Несобственные интегралы:

Первого рода:

Пусть - непрерывна на или на :

1. или ,

если эти пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то расходящимся.

2. , где - любая точка оси .

Полный интеграл сходится, тогда и только тогда, когда сходится каждый из составляющих его интегралов.

Второго рода:

Пусть - непрерывна в или :

1. или ,

если эти пределы существуют и конечны, то соответствующий несобственный интеграл называется сходящимся, если не существует или равен бесконечности, то расходящимся.

2. , где - внутренняя точка бесконечного разрыва.

Такой несобственные интеграл, сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба составляющих его интеграла.

12.4. Применения определенного интеграла:

1. Вычисление площадей плоских фигур:

· - площадь криволинейной трапеции,

где ;

· - площадь криволинейной трапеции,

где ;

· - площадь фигуры, где , ;

· -площадь фигуры, где основная кривая задана как

, где , - непрерывно-дифференцируемы на ;

· - площадь фигуры, где основная кривая задана в п.с.к.

уравнением , .

2. Вычисление длин дуг плоских кривых:

· - формула вычисления длины дуги, заданной явно , где - непрерывно-дифференцируема на

· - для дуги, заданной параметрически , где - непрерывно-дифференцируемы на .

· - для дуги кривой в п.с.к., где и - непрерывно-дифференцируема на

3. Вычисление площадей поверхностей вращения:

· - вокруг оси ;

· - вокруг оси ;

· - для кривой, заданной параметрически;

· - для кривой в п.с.к.

4. Вычисление объемов тел вращения:

· - вокруг оси ;

· - вокруг оси .

5. Физические приложения определенного интеграла:

· -формула нахождения пути по скорости при прямолинейном движении;

· - масса неоднородного стержня длины с заданной линейной плотностью ;

· - угол поворота за отрезок времени при заданной угловой скорости ;

· - количество теплоты необходимое для нагревания тела от до при заданной теплоемкости ;

· - количество электричества, протекающего через поперечное сечение проводника за отрезок времени при заданной силе тока ;

· - работа переменной силы при прямолинейном перемещении из положения в положение (физический смысл определенного интеграла);

· - формула вычисления давления жидкости на вертикальную пластину ( - плотность жидкости).

РАЗДЕЛ XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Дата добавления: 2015-06-28