Интегральный признак Коши

Радикальный признак Коши.

Целесообразно применять, когда общий член ряда целиком является - ой, или - ой, или степенью какого-либо выражения.

;

Целесообразно применять, когда общий член ряда порождает функцию, первообразная которой находится без особого труда.

Если - непрерывная, положительная, убывающая в , значения которой при натуральных значениях аргумента совпадают с соответствующими значениями ряда , то этот ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Исследование знакопостоянных рядов:

- проверить необходимое условие;

- применить признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши или признаки сравнения.

3.3. Знакопеременные ряды:

Определение: ряд, содержащий бесчисленное множество положительных и бесчисленное множество отрицательных членов называется знакопеременным.

Теорема (общий достаточный признак):

Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, то сходится и знакопеременный ряд.

Определение: знакопеременный ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом строго поочередно, называется знакочередующимся.

Его вид: или , где при .

Теорема (признак Лейбница):

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывая стремятся к нулю, то такой ряд сходится и абсолютная величина его суммы не превосходит абсолютной величины первого члена ряда.

Ряд, отвечающий условиям признака Лейбница, называется лейбницевским. Любой лейбницевским ряд сходится.

Исследование сходимости знакопеременных рядов:

- проверить необходимое условие;

- проверить для ряда условия Лейбница;

- составить ряд из абсолютных величин (если он сходится, то данный ряд сходится абсолютно; если он расходится, то данный ряд сходится условно)

3.4. Степенные ряды:

Определение: ряд, все члены которого являются функциями одного и того же аргумента называется функциональным.

Его общий вид: .

Определение: функциональный ряд вида

, где коэффициенты ряда - любые действительные числа, называется степенным, расположенным по степеням .

Исследование сходимости степенных рядов:

- находим радиус сходимости или , записываем интервал сходимости;

- проверяем поведение ряда на концах интервала;

- находим область сходимости.

3.5. Ряд Тейлора:

Ряд, стоящий в правой части равенства называется рядом Тейлора по функции .

При ряд Тейлора принимает вид:

и называется рядом Маклорена.

3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6.

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

3.7. Ряды Фурье. Теорема Дирихле.

Определение: функция , называется удовлетворяющей условиям Дирихле на , если она на этом отрезке

· непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;

· имеет конечное число строгих экстремумов.

Теорема Дирихле (достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье):

Если функция отвечает на отрезке условиям Дирихле, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка, причем во внутренних точках непрерывности функции ряд сходится к самой функции . В каждой внутренней точке разрыва функции ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений этой функции в точке слева и справа, т.е. . В обеих граничных точках ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этих точках, когда стремится к ним изнутри отрезка, т.е. .

Алгоритм разложения периодических функции в ряд Фурье на :

- строим график на и с его помощью проверяем выполнение условий Дирихле;

- устанавливаем ожидаемую форму ряда Фурье;

- вычисляем коэффициенты по формулам Эйлера-Фурье и составляем формальный ряд;

- строим на заданном отрезке график суммы ряда;

- периодически продолжаем графики функции и суммы на всю числовую ось;

- определяем точки сходимости ряда к самой функции ;

Аналогично, раскладываются в ряд Фурье периодические функции на ; ; .

Если - общего положения на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где ;

, где

, где

Если - общего положения на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где ;

, где

, где

Если - общего положения на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где ;

, где

, где

Алгоритм разложения в ряд Фурье непериодических функций, заданных на ; по косинусам (по синусам):

- продолжаем функцию четным (нечетным) образом на () и получаем новую функцию ;

- строим график и проверяем условия Дирихле;

- устанавливаем ожидаемую форму ряда Фурье;

- вычисляем коэффициенты по формулам Эйлера-Фурье и составляем формальный ряд ;

- строим на заданном отрезке график суммы ряда;

- определяем точки сходимости ряда к самой функции ;

Если - четная на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где ;

, где

Если - нечетная на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где , где

При вычислении интегралов, учитываем, что и

РАЗДЕЛ IV. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

Дата добавления: 2015-06-28