Для аналитических 1 страница

Для неаналитических

1. ;

2. В частности, если - окружность или любая его часть, то подставив в показательной форме , имеем, что на окружности , ()

, где отрезок отвечает заданной части окружности.

Замечание: формулы имеют место только для однозначных или отдельных ветвей многозначных функций.

3. Теорема Коши (для односвязной области):

Если функция аналитическая в каждой точке области и на ее границе , то .

Теорема Коши (для многосвязной области):

Если функция аналитическая в многосвязной области , границей которой служат кривые ,

то (все границы области обходятся в одном направлении)

4. ;

5. Контурный интеграл от аналитической функции не зависит от формы кривой интегрирования, но зависит от начальной и конечной точек пути, т.е. .

6. Используя интегральную формулу Коши, имеем:

· , где - аналитическая в односвязной области и на ее границе

· , где - аналитическая

7.

8. Теорема:

Если функция аналитическая в каждой точке области , ограниченной контуром , за исключением конечного числа изолированных особых точек , лежащих строго внутри области , то справедливо равенство: .

Смотри о в п.4.7.

4.5. Ряды Тейлора и Лорана:

Определение: степенной ряд , коэффициенты которого рассчитываются по формулам называется рядом Тейлора функции , где - произвольный замкнутый контур, содержащий строго внутри точку .

Определение: функциональный ряд вида , где

и

называется рядом Лорана функции или компактная форма

, где

Ряд Лорана состоит из двух частей:

· - правильная

· - главная часть.

4.6. Типы особых точек:

Определение: точка называется - кратным нулем функции , если в разложении Тейлора этой функции в окрестности т. первых коэффициентов равны нулю: , но .

Определение: особая точка называется изолированной, если существует достаточно малая окрестность этой точки, не содержащая других особых точек данной функции.

Определение: точка называется особой точкой функции , если в этой точке функция не аналитическая.

Определение: точка называется устранимой особой точкой , если разложение Лорана этой функции в окрестности этой точки не содержит отрицательных степеней , т.е.

Определение: точка называется полюсом , если разложение Лорана этой функции имеет конечное число отрицательных степеней, т.е.

.

Если , то - кратный полюс, если , то простой.

Определение: точка называется существенно особой точкой , если разложение Лорана этой функции содержит бесчисленное множество отрицательных степеней , т.е.

.

Теорема:

- - кратный нуль функции является - кратным полюсом функции ;

- - кратный полюс функции является - кратным нулем функции .

Алгоритм определения типа особой точки:

1. Применить теорему о связи между нулями и полюсами функций;

или

2. Вычислить ;

или

3. Воспользоваться определением.

4.7. Вычеты:

Определение: число называется вычетом функции относительно изолированной точки .

Обозначение: = .

=

РАЗДЕЛ V. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

5.1. Основные понятия:

Пусть - действительная функция действительной переменной (на практике часто рассматривается как время).

Определение: функция называется оригиналом, если она удовлетворяет трем условиям:

· при непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;

· при ;

· существуют такие действительные числа и , что при , где - называется показателем роста оригинала.

Определение: изображением оригинала называется функция комплексной переменной , определяемая равенством .

Символическая запись перехода от оригинала к изображению : .

5.2. Свойства преобразований Лапласа:

1) Если и , то - свойство линейности;

2) Если и действительное число , то - свойство подобия;

3) Если и действительное число , то - свойство запаздывания или сдвига;

4) Если , то - свойство смещения или затухания;

5) Если и является оригиналом, то - свойство дифференцирования оригинала;

Следствие:

Если и является оригиналом, то

, где

6) Если , то - свойство интегрирования оригинала;

7) Если , то - свойство дифференцирования изображения;

8) Если , то - свойство интегрирования изображения.

5.3. Свертка функций:

Определение: сверткой двух функций и называется функция , определяемая равенством .

Обозначение: .

Теорема умножения изображений:

Если , , то , т.е. если изображения перемножаются, то их оригиналы свертываются.

Формула обращения:

Если функция является изображением некоторого оригинала , то в каждой точке непрерывности оригинала справедлива формула .

5.4. Теоремы разложения:

Теорема 1:

Если изображение вне конечного круга представлено рядом Лорана вида , то соответствующий оригинал является суммой степенного ряда , где , который сходится при всех .

Теорема 2:

Если изображение представлено правильной рациональной дробью со знаменателем, имеющем только простые корни, то соответствующий оригинал находят по формуле .

Теорема 3:

Если изображение представлено правильной рациональной дробью со знаменателем, имеющем кратные корни , то соответствующий оригинал находят по формуле .

5.5. Таблица оригиналов и изображений:

- оригинал	- изображение
1.	1
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.

РАЗДЕЛ VI. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

6.1. Элементы комбинаторики:

Определение: соединения, содержащие элементов из данных и отличающиеся друг от друга либо сами элементами, либо порядком их расположения в соединениях называются размещениями.

Формула вычисления:

Определение: соединения, содержащие все данные элементов и отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, называются перестановками из элементов.

Формула вычисления:

Определение: соединения, содержащие элементов из данных и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом называются сочетаниями из элементов по .

Формула вычисления: .

В частности, если , то .

6.2. Основные понятия теории вероятностей:

Изначальные понятия: событие и вероятность.

Под событием понимают всякий факт, относительно которого уместно говорить: произойдет оно или нет.

События делят на: случайные, достоверные и невозможные.

Определение: случайным событием называют всякое явление, которое в результате осуществления комплекса условий (ОКУ) может произойти или не произойти.

Обозначение:

Определение: событие называется достоверным, если оно заведомо происходит при ОКУ.

Обозначение: .

Определение: событие называется невозможным, если оно заведомо не происходит при ОКУ.

Обозначение:

Определение: несколько событий называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем любое другое.

Определение: несколько событий называются несовместными, если появление одного из них исключает появление любого другого и совместными, если не исключает.

Определение: несколько событий образуют полную группу, если в результате ОКУ обязательно происходит хотя бы одно из данных событий.

Определение (классическое определение вероятностей): если в результате ОКУ всевозможные исходы составляют полную группу и равновозможных и несовместных случаев, из которых благоприятствуют появлению события , то вероятность этого события равна отношению числа благоприятствующих событий к их общему числу.

Т.о. .

Определение: два события называются противоположными, если в результате ОКУ обязательно происходит одно и только одно из них.

Теорема: .

6.3. Теоремы сложения и умножения:

Определение: п роизведением двух событий называется событие, состоящее в их одновременном появлении.

Обозначение: .

Определение: два события называются независимыми, если вероятность любого из них не зависит от того, произошло или не произошло другое событие и зависимыми, если зависит.

Определение: вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло, называется условной вероятностью события .

Дата добавления: 2015-06-28