Переменного

4.1. Основные понятия:

Определение: соответствие , при котором каждому значению отвечает одно или несколько значений называется функцией комплексной переменной (фкп).

Обозначение: .

Функция комплексного переменного может быть однозначной и многозначной.

Т.к. , то можно представить как .

Здесь , а .

Определение (для однозначных или отдельных ветвей многозначных):

Комплексное число называется пределом функции при , если для такое, что при всех отличных от и удовлетворяющих неравенству справедливо неравенство .

Обозначение: .

Если представлена в виде , то она непрерывна в точке тогда и только тогда, когда в точке одновременно непрерывны ее действительная часть и мнимая .

Определение: функция непрерывная в каждой точке некоторого множества называется непрерывной на этом множестве.

Определение (для однозначных или отдельных ветвей многозначных): ;

Дифференциал фкп находят по формуле: .

Если дифференцируема в точке , то она в этой точке и непрерывна, обратное не справедливо.

Функция называется дифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

Теорема (необходимое и достаточное условия дифференцируемости фкп):

Для того чтобы однозначная функция была дифференцируемой в точке необходимо и достаточно, чтобы в т. :

- и были дифференцируемы;

- выполнялись равенства (условия Даламбера - Эйлера или Римана - Коши).

Определение: функция называется аналитической в точке, если она однозначна и дифференцируема в этой точке и ее окрестности.

Определение: функция называется аналитической в области, если она аналитическая в каждой точке этой области.

Примечание: функции, содержащие не являются аналитическими.

4.2. Основные элементарные функции:

1. Степенная функция

а) если - натуральное, то и ;

б) если , где ,то

,

в) если , где и - несократимая, то

, .

2. Показательная функция

и , ( и )

Специфическое свойство: , при

3. Логарифмическая функция

Формула вычисления - , где

Если , то имеем главную ветвь - , т.е. , где

4. Тригонометрические функции

; ; ; .

Специфическое свойство: и могут быть большими единицы.

5. Гиперболические функции

; ; ;

Формулы связи: и .

Так же: ;

Функции и - периодические с периодом , а и - .

Характерно, что и .

6. Обобщенные степенная и показательные функции

- обобщенная степенная функция , где любое комплексное число, функция определяется равенством ;

- обобщенная показательная функция , где а – любое комплексное число , функция определяется равенством

4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:

Пусть в комплексной плоскости задана гладкая направленная кривая с начальной точкой и конечной и пусть в каждой точке этой кривой определена однозначная непрерывная функция .

Определение: конечный предел интегральной суммы функции на кривой при условии, что и называется контурным интегралом от этой функции по кривой , где

Т.о. , где определит длину хорды, стягивающей - ую частичную дугу.

Основные свойства:

- ;

- ;

- , где - постоянная;

- ;

- .

4.4. Вычисление контурных интегралов от непрерывной функции комплексного переменного:

Дата добавления: 2015-06-28