КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Исследование формы эллипса по его уравнению
Эллипс Кривые второго порядка Воронеж 2012 Учебно-методическое пособие для студентов I курса дневного и заочного отделений физико-математического факультета УДК 513 (075.8)
Составитель:
Кандидат физико-математических наук, доцент Н.А. Заварзина
Лекция №1 1. Определение эллипса и его уравнение Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2a > ǀF1F2ǀ=2c. Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса, а │ F1F2│= 2с ─ фокальным расстоянием. Пусть на плоскости даны две точки F1 и F2. Для того чтобы составить уравнение эллипса на плоскости введём ортонормированную систему координат, начало которой поместим с середину отрезка [F1F2]. Ось Ох расположим таким образом, чтобы точки F1 и F2 принадлежали этой оси.
Рис.1. В этом случае фокусы эллипса принимают следующие координаты F1(c;0) и F2(-c;0). (см. Рис.1.) Пусть М(х;у) ─ произвольная точка эллипса. Тогда, по определению, │МF1│+ │МF2│ = 2a. (1) По формуле вычисления расстояния между точками имеем: , . Таким образом из (1) => . Запишем полученное выражение в виде и возведём в квадрат. В результате, после приведения подобных членов, получаем . Для того чтобы освободиться от корня возведём последнее выражение в квадрат. В результате после элементарных преобразований имеем: . (2) Учитывая, что > обозначим (3) и запишем (2) виде: . После деления полученного уравнения на получаем, что если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то её координаты удовлетворяют уравнению
(4) Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М1(х1;у1) удовлетворяют уравнению (4), то точка М1 принадлежит эллипсу.
Пусть для точки М1(х1;у1) справедливо равенство (5) Из (5) следует: (6) Вычислим => . Заметим, что величина стоящая под знаком модуля положительна не только при < 0, но и при > 0 так как с < и из (6) => . Аналогично, если провести подобные преобразования для , получим . => => точка М1 принадлежит эллипсу. Таким образом, уравнение (4) является уравнением эллипса, которое называется каноническим уравнением эллипса. [MF1] ─ называется первым фокальным радиусом эллипса; . [MF2] ─ называется вторым фокальным радиусом эллипса; . Заметим, что если F1= F2, то с = 0 и => => окружность частный случай эллипса. Пусть дан эллипс своим каноническим уравнением (4) . Для определения вида кривой заданной уравнением (4), заметим: а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют уравнению (4). => Эллипс не проходит через начало координат. б) Найдём точки пересечения эллипса с осью Ох: => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох: и . в) Найдём точки пересечения эллипса с осью Оу: => => Эллипс две точки пересечения с осью Ох: и . г) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М1(-х;у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Ох. д) Если точка М(х;у) принадлежит эллипсу, то из уравнения (4) следует, что и точка М2(х;-у) принадлежит эллипсу. => Эллипс симметричен относительно оси Оу. На основании г) и д) можно сделать вывод, что эллипс симметричен относительно начала системы координат. е) Из уравнения (4) , => и => Все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, ограниченного прямыми и . ж) Так как , то можно сделать вывод, что с ростом у от 0 до величина х убывает от до 0. з) => => => <0 => Если , то , то есть функция выпукла вверх. Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, получаем изображение эллипса (Рис.2.).
Рис.2 Точки А1, А2, В1, В2 ─ называют вершинами эллипса. [A1A2] ─ большой осью эллипса, [B1B2] ─ называют малой осью эллипса. Числа и называют полуосями эллипса.
Дата добавления: 2015-06-28; Просмотров: 1140; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |