Парабола. 1. Определение параболы и её уравнение

Лекция №2

1. Определение параболы и её уравнение

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через данную точку F_.

Точка F называется фокусом параболы, а прямая d ─ директрисой параболы. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается: .

Рис.12.

Для того чтобы составить уравнение параболы на плоскости введём ортонормированную систему координат, ось (Ох) которой выберем проходящей через фокус F параболы перпендикулярно директрисе d. Пусть D─ точка пересечения оси (Ох) с директрисой d. Начало системы координат выберем в точке, являющейся серединой отрезка [FD]. (Рис.12.)

(7)

В этом случае фокусы параболы принимает координаты ,а директриса определяется уравнением . Пусть М(х;у) ─ произвольная точка параболы. Тогда, по определению, . Учитывая, формулы расстояния между двумя точками и расстояния от точки до прямой, получаем. . Возведём это равенство в квадрат. =>

Таим образом, получаем, если точка М(х;у) принадлежит параболе, то её координаты удовлетворяют уравнению.

Покажем теперь, что если координаты некоторой точки М₁(х₁;у₁) удовлетворяют уравнению (7), то точка М₁ принадлежит параболе.

И так, пусть для координат точки М₁ выполнено условие: . Вычислим . => => => параболе. Таким образом, уравнение (7) является уравнением параболы.

2. Исследование формы параболы по его уравнению

Пусть дана парабола своим каноническим уравнением (7).

Для определения вида кривой заданной уравнением (7), заметим:

а) Координаты начала системы координат точки О(0;0) не удовлетворяют

уравнению (7). => Парабола проходит через начало координат.

б) Если точка М(х;у) принадлежит параболе, то из уравнения (7) следует, что и точка М₁(-х;у) принадлежит параболе. => Парабола симметрична относительно оси Ох.

в) Если , то все точки параболы расположены в полуплоскости .

г) Продифференцируем равенство по х: . => При у > 0 функция у(х) является возрастающей, а при у < 0 ─ убывающей.

д) Продифференцировав выражение по переменной х, получаем: . => Кривая при у > 0 ─ выпукла, а при у < 0─ вогнута.

Рис. 13.

Проведённое исследование позволяет построить изображение параболы, приведённое на рис. 13.

3.Построение точек параболы

Построить параболу с фокусом в точке F и директрисой d можно следующим образом.

а) Через фокус F проводим прямую (Ох), перпендикулярную директрисе d.

б) Строим вершину параболы, то есть точку О, которая является серединой отрезка [ON], где N точка пересечения директрисы и (Ох).

Рис. 14.

в) Проводим произвольную прямую ℓ параллельную директрисе.

г) Строим окружность , где . Точка М= ω∩ℓ принадлежит параболе с фокусом в точке F и директрисой ℓ.

Чтобы получить достаточное число точек параболы необходимо повторить пункты в) и г).

Дата добавления: 2015-06-28