Параметрические уравнения эллипса

Эксцентриситет эллипса

Рассмотрим эллипс с фокусами в точках F₁ и F₂ , большой полуосью которого является [A₁A₂].

Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число, равное .

Так как , то ε > 0. Для окружности => ε = 0.

Пусть эллипс задан уравнением , тогда => => => . => Эксцентриситет определяется отношением полуосей эллипса.

Рис.3.

При ε = 0 получаем , что указывает на то, что в этом случае

эллипс является окружностью. При стремлении ε к единице отношение полуосей становится меньше и стремится к нулю. Зафиксируем значение большой полуоси эллипса и пусть ε → 0. Изменение формы эллипса, в этом случае показано на Рис.3.

ВЫВОД. Эксцентриситет характеризует степень вытянутости эллипса вдоль большой оси.

Построим на плоскости две окружности с центрами в начале координат и радиусами и . Проведём луч из начала координат, и пусть он пересечёт первую окружность в точке N₁, а вторую ─ в точке N₂. (Рис.4.)

Рис.4.

Через точку N₁ Проведём прямую ℓ₁|| (Оу), а через точку N₂ ─ прямую ℓ₂|| (Ох). Пусть М(х;у) = ℓ₁ ∩ ℓ₂. Обозначим через α = А₁ОN₁, тогда

(6)

Разделив первое равенство системы (6) на , а второе на , после возведения полученных равенств в квадрат и сложения их получаем:

=> Точка М(х;у) принадлежит эллипсу.

Соотношения (6) называют параметрическими уравнениями эллипса.

Дата добавления: 2015-06-28