Изменение моментов инерции при

Кольцо

Треугольник

Определим момент инерции треугольника относительно оси х ₁, проходящей через основание:

.

Элементарная площадка .

Из подобия треугольников (рис. 3.7) получаем:

,

где b – основание треугольника, h – его высота.

Таким образом

_.

Расстояние от основания треугольника до центра тяжести равно:

.

По формуле переноса находим момент инерции относительно центральной оси х, параллельно основанию:

.

3.4.3 Круг

Определим сначала полярный момент инерции относительно центра круга (рис. 3.8). За dF примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной d r, расположенного на расстоянии r от центра круга .

Тогда

. (3.15)

Теперь определим осевые моменты инерции. Очевидно, что в силу симметрии ; но . Откуда

. (3.16)

Определим моменты инерции кольца, у которого R - наружный радиус, r - внутренний радиус (рис. 3.9). Интегрируя полученное ранее выражение для полярного момента инерции в пределах от r до R, получим:

.

Это выражение может быть представлено в виде:

, (3.17)

где .

Соответственно

. (3.18)

повороте осей координат

Пусть задана система координат и известны моменты инерции J_х, J_у и J_хy фигуры относительно осей координат. Повернем оси координат на некоторый угол aпротив часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей и и v (рис. 3.10).

Координаты точки в этих системах координат связаны уравнениями:

.

Момент инерции:

,

или

, (3.19)

и

, (3.20)

Центробежный момент инерции:

, (3.21)

Из полученных уравнений видно, что , т.е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.

Дата добавления: 2015-06-28