Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Гипербола





Эллипс

Окружность

 

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.

 

Пусть центром окружности является точка О(a; b), а расстояние до любой точки М(х;у) окружности равно R. Тогда

(x – a)2 + (y – b)2 = R2

каноническое уравнение окружности с центром О(a; b) и радиусом R.

 

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде: 2x2 + 2y2 – 8x + 5y – 4 = 0.

 

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты:

x2 + y2 – 4x + 2,5y – 2 = 0

x2 – 4x + 4 – 4 + y2 + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)2 + (y + 5/4)2 = 121/16

 

Отсюда находим координаты центра О(2; -5/4); радиус R = 11/4.

 

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

 

у

 

b М

 

а

F1 O F2 х

 

 

 

Фокусы обозначаются буквами F1, F2, расстояние между фокусами – 2с, сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов – 2а (2а > 2c), a – большая полуось; b – малая полуось.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

 

,

где a, b и c связаны между собой равенствами:

a2 – b2 = c2 (или b2 – a2 = c2).

 

Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к длине большей оси и называется эксцентриситетом.

 

или

Т.к. по определению 2а > 2c, то эксцентриситет всегда выражается правильной дробью, т.е. .

 

Величина k = b/a называется коэффициентом сжатияэллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатиемэллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2 = 1 – ε2.

Если a = b (c = 0, ε = 0, фокусы сливаются), то эллипс вырождается в окружность.

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F1(0; 0), F2(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: .

Расстояние между фокусами: 2c = , таким образом, a2b2 = c2 =

по условию 2а = 2, следовательно, а = 1, b =

Итого: .

 

 

Гиперболойназывается множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

 

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

 

или ,

 

где a, b и c связаны между собой равенством a2 + b2 = c2.



 

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Фокусы обозначаются буквами F1, F2, расстояние между фокусами – 2с, разность расстояний от любой точки гиперболы до фокусов – 2а (2а < 2c). Ось 2а называется действительной осью гиперболы, ось 2b – мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами к длине действительной оси:

или .

Т.к. по определению 2а < 2c, то эксцентриситет гиперболы всегда выражается неправильной дробью, т.е. .

 

Если длина действительной оси равна длине мнимой оси, т.е. а = b, ε = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

 

Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2, а фокусы совпадают с фокусами эллипса с уравнением

Находим фокусное расстояние c2 = 25 – 9 = 16.

Для гиперболы: c2 = a2 + b2 = 16, ε = c/a = 2; c = 2a; c2 = 4a2; a2 = 4; b2 = 16 – 4 = 12.

Тогда - искомое уравнение гиперболы.

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 497; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.