Уравнение плоскости в отрезках

Проходящей через три точки

Уравнение плоскости,

Параметрические уравнения плоскости

Параллельной двум данным векторам

Уравнение плоскости,

Постановка задачи: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , и параллельной двум векторам и , неколлинеарных между собой.

. (5.3)

Равенство (5.3) является уравнением плоскости, параллельной векторам и и проходящей через точку .

Пусть плоскость P определяется двумя неколлинеарными векторами и и точкой .

,

или

. (5.4)

Уравнения (5.4) называются параметрическими уравнениями плоскости.

Постановка задачи: Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки , и .

или, используя формулу смешанного произведения в координатной форме, получаем следующее равенство

. (5.5)

Равенство (5.5) является уравнением плоскости, проходящей через три точки , и .

Пусть плоскость на осях , и отсекает отрезки длиной , и соответственно.

Далее

.

Раскрыв определитель, имеем , т.е.

или

. (5.6)

Равенство (5.6) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Этим уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.

Пример 5.1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и ось .

Решение. Способ 1. Так как плоскость проходит через ось , то в этой плоскости лежит орт . В этой плоскости лежит и вектор .

По формуле (5.1) составляем уравнение плоскости:

Þ .

Способ 2. Так как плоскость проходит через ось , то уравнение плоскости в общем виде . Так как точка принадлежит плоскости, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению искомой плоскости, т.е. Þ , где . Таким образом уравнение плоскости примет вид:

Þ .

Способ 3. Так как плоскость проходит через ось , то на этой плоскости кроме точки можно взять точки и , принадлежащие оси .

По формуле (5.5) составляем уравнение плоскости:

Þ .

Способ 4. Так как плоскость проходит через ось , то эта плоскость параллельна векторам и .

По формуле (5.3) составляем уравнение плоскости:

Þ .

,

Пример 5.2. Какие отрезки отсекает на осях координат плоскость

.

Решение. Приведем данное уравнение к уравнению в отрезках:

Þ Þ .

Отсюда получаем, что на оси плоскость отсекает отрезок , на оси - отрезок , на оси - отрезок .

,

Дата добавления: 2017-01-14