Уравнения поверхности и линии в пространстве

Сферические координаты

Наименование «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (т.е. множество точек, имеющих одну и ту же координату r) является сферой (одна из таких сфер изображена пунктиром). Если совместить декартову систему координат со сферической, то декартовы координаты , и точки M будут связаны с ее сферическими координатами r, j и Q формулами

.

Поверхность в пространстве, как правило, можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Свойство, общее всем точкам поверхности, можно записать в виде уравнения, связывающего координатами всех точек поверхности.

Уравнением поверхности в прямоугольной системе координат называется такое уравнение с тремя переменными , и , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности. Переменные , и в уравнении поверхности называются текущими координатами точек поверхности.

Если координаты , и точки M поверхности удовлетворяют уравнению поверхности , то говорят, что точка M принадлежит поверхности.

Для составления поверхности надо взять на ней произвольную точку и, учитывая свойства поверхности, получить зависимость между координатами этой точки.

Пример 4.1. Составить уравнение сферы с центром в точке и радиусом R.

Решение. Для произвольной точки сферы очевидно следующее равенство или

.

Отсюда

. (4.1)

Равенство (4.1) и есть уравнение искомой сферы в прямоугольной системе координат . В частности, если совпадает с началом координат, то равенство является уравнением сферы радиусом R с центром в начале координат.

,

Заметим, что не каждое уравнение определяет в пространстве поверхность как геометрический образ. Например, уравнению не удовлетворяет ни одна точка пространства. А уравнение определяет только одну точку пространства .

Задание поверхности, при котором одна из текущих координат явно выражена через две остальные в виде , или , или , называется явным. Задание поверхности в виде называется неявным.

5. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

В ПРОСТРАНСТВЕ

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в пространстве можно задать разными способами. Каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.

Дата добавления: 2017-01-14