Общие уравнения прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Канонические и параметрические уравнения прямой

Прямая L в пространстве определяется однозначно, если:

а) известны точка, через которую она проходит, и ненулевой вектор, параллельный прямой;

б) или известны две точки этой прямой.

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через точку , и параллельной вектору . Вектор называется направляющим вектором прямой.

. (6.1)

Равенства (6.1) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пусть и -радиус-векторы точек и соответственно. Тогда три вектора , и связаны соотношением

. (6.2)

Так как векторы и коллинеарны, то существует число , такое, что . Тогда из уравнения (6.2) имеем

. (6.3)

Соотношение (6.3) называется векторным параметрическим уравнением прямой в пространстве. В координатной форме уравнение (6.3) равносильно трем уравнениям

, , (6.4)

Равенства (6.4) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Замечание. Уравнение (6.1) можно было бы получить сразу из параметрических уравнений прямой (6.4), исключив параметр . Из уравнений (6.4) находим

.

Постановка задачи: Составить уравнение прямой, проходящей через две точки и .

Векторы . Тогда

. (6.5)

Равенство (6.5) называется уравнением прямой, походящей через две точки и .

Прямую в пространстве можно однозначно определить пересечением двух плоскостей

, (6.4)

нормальные векторы и которых не параллельны. Уравнения (6.4) называются общими уравнениями прямой в пространстве.

Так как прямая L перпендикулярна векторам и , то за направляющий вектор прямой L можно принять векторное произведение :

.

Пример 6.1. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, заданной в общем виде

.

Решение. Находим направляющий вектор данной прямой, если и :

.

Пусть , тогда получаем и решаем систему уравнений . Находим точку . Используя равенства (6.1) получаем канонические уравнения прямой

.

Из условия получаем следующие параметрические уравнения прямой L:

.

,

Дата добавления: 2017-01-14