Расстояние от точки до плоскости

Угол между двумя плоскостями

Двух плоскостей

Условия параллельности и перпендикулярности

Расположение двух плоскостей

Пусть две плоскости P ₁ и P ₂ заданы своими общими уравнениями:

;

.

Если плоскости P ₁ и P ₂ параллельны, то параллельны и их нормальные векторы и . Отсюда, учитывая условие параллельности векторов, получаем условие параллельности двух плоскостей:

Þ Û .

Если , то и, значит, условие перпендикулярности двух плоскостей имеет вид:

Þ Û Û .

Если коэффициенты и плоскостей

;

не пропорциональны, то плоскости P ₁ и P ₂ пересекаются по некоторой прямой L. Проведем плоскость P, перпендикулярную к линии L. Эта плоскость пересекается с P ₁ и P ₂ по прямым и . Угол j между прямыми и называется углом между плоскостями P ₁ и P ₂.

Поскольку и , то угол между векторами и () равен углу j между плоскостями P ₁ и P ₂. Тогда равенство

(5.7)

и определяет косинус искомого угла между плоскостями P ₁ и P ₂.

Пусть задана точка и плоскость . Расстояние от точки до плоскости P находится по формуле

. (5.8)

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой.

Пример 5.3. Установить взаимное расположение заданных плоскостей. Если плоскости параллельные, то найти расстояние между плоскостями; если плоскости пересекаются, найти угол между плоскостями:

1. и ;
2. и .

Решение. 1) Определяем координаты нормальных векторов данных плоскостей: и . Так как выполняется условие , то плоскости P ₁ и P ₂ параллельны.

Например, в плоскости P ₂ выберем точку M, принадлежащую этой плоскости. Для этого, например, придадим переменным x и y значения равные нулю, т.е. и , и найдем z: Þ . Значит . Найдем расстояние от точки M до плоскости P ₁:

.

2) Определяем координаты нормальных векторов данных плоскостей: и . Так как выполняется условие , то плоскости P ₁ и P ₂ не являются параллельны. Значит, они пересекаются.

Используя формулу (5.8) находим косинус угла между этими плоскостями:

.

Тогда .

,

6. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

В ПРОСТРАНСТВЕ

Дата добавления: 2017-01-14