Полиномиальная интерполяция. Формула Лагранжа

Известно, что любая непрерывная на отрезке функция может быть хорошо приближена некоторым полиномом *, о чем говорит теорема Вейерштрасса: Для любого существует полином степени , такой, что .

Однако эта теорема не дает ответа на вопрос о существовании хорошего интерполяционного полинома для заданного множества точек . Будем искать такой полином методом неопределенных коэффициентов с использованием степенного базиса. Представим интерполяционный полином в виде

,(4.5)

где – неопределенные коэффициенты. Приняв во внимание (4.1), для нахождения неизвестных коэффициентов получим систему линейных алгебраических уравнений:

(4.6)

Данная система имеет единственное решение, так как ее определителем является отличный от нуля определитель Вандермонда

(4.7)

для . Отсюда следует, что интерполяционный полином (4.5) существует и единственен (форм его записи существует множество).

В качестве базиса для построения интерполяционного полинома были взяты функции . Однако более удобным для вычислений является использование коэффициентов Лагранжа

(4.8)

где индексы и изменяются от до , или полиномов Лагранжа (принимающих аналогичные значения при )

.(4.9)

Очевидно, что полином принимает значение в узле и равен нулю во всех остальных узлах. Отсюда следует, что интерполяционный полином

(4.10)

имеет степень не выше и . Таким образом, полином, приближенно описывающий исходную функцию, найден. Формулу (4.10) называют формулой Лагранжа. Число арифметических операций для вычисления по формуле Лагранжа пропорционально . Предположив, что функция имеет -ю непрерывную производную, можно получить, что погрешность аппроксимации составляет

для . (4.11)

Дата добавления: 2017-01-14