Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Введение в анализ

111-120. Найти указанные пределы:

1. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

112. ; б) ; в) ;

г) ; д) .

113 ; б) ; в) ;

г) ; д) .

114. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

115. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

116. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

117. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

118. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

119. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

120. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

121-130. Задана функция и два значения аргумента и . Требуется:

1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений ;

2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва справа и слева;

3) сделать схематический чертеж.

121. , , .

122. , , .

123. , , .

124. , , .

125. , , .

126. , , .

127. , , .

128. , , .

129. , , .

130. , , .

131-140. Задана функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141-150. Найти производные данных функций.

141. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

142. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

143. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

144. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

145. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

146. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

147. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

148. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

149. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

150. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

151-160. Найти производные и .

151. а) ; б) .

152. а) ; б) .

153. а) ; б) .

154. а) ; б) .

155. а) ; б) .

156. а) ; б) .

157. а) ; б) .

158. а) ; б) .

159. а) ; б) .

160. а) ; б) .

161-170. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

161. , .

162. , .

163. , .

164. , .

165. , .

166. , .

167. , .

168. , .

169. , .

170. , .

171. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметра , чтобы ее сопротивление на сжатие было наибольшим?

172. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объема , причем стоимость квадратного метра материала, из которого изготавливается дно бака, равна рублей, а стоимость квадратного метра материала, идущего на стенки, равна рублей. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материал будут наименьшими?

173. В прямоугольной системе координат через точку проведена прямая, которая вместе с осями координат образует треугольник, расположенный в первом квадранте. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

174. Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

175. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметра , чтобы ее сопротивление на изгиб было наибольшим?

176. В прямоугольной системе координат через точку проведена прямая, пересекающаяся с положительными полуосями координат. Написать уравнение прямой, если сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, принимает наименьшее значение?

177. Полотняный шатер объема имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

178. Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образуемый боковыми стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

179. Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметра , с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей жесткости)?

180. Найти отношение радиуса цилиндра к его высоте, при котором цилиндр имеет при данном объеме наименьшую полную поверхность.

Приложение дифференциального исчисления

181-190. Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить их графики, используя результаты исследования.

181. а) ; б) .

182. а) ; б) .

183. а) ; б) .

184. а) ; б) .

185. а) ; б) .

186. а) ; б) .

187. а) ; б) .

188. а) ; б) .

189. а) ; б) .

190. а) ; б) .

191-200. Найти частные производные функции .

191.	192.
193.	194.
195.	196.
197.	198.
199.	200.

Дата добавления: 2015-08-31