Негізгі моделдер

Реттеу жүйесінің жұмысын ауызша сипаттауға болады. Кептіргіш шкафтағы температураны реттеу 1.1 тарауда келтірліген. Ауызша сипаттау жүйенің әрекетін түсінуге, оның мәнін, функционирлеу негіздерін түсінуге көмектеседі. Бірақ та, ол реттеудің жоғары сапасын бағалауын бермейді, сондықтан да автоматты жүйені басқаруды құруда жүйені зерттеуге жарамсыз болады. Оның орынан Автоматты Басқару Теориясында нақты математикалық әдістер мен оның жүйенің қасиеттерінің сипаттамалары қолданады: статикалық сипаттама,

· динамикалық сипаттама,

· дифференциалды теңдеу,

· айнымалы функция,

· жилік сипаттамасы.

Бұл кез келген жүйенің моделі кіріс әрекет Х және қоздырушы F, шығыс әрекет Y тұратын тізбек түрінде құрылады.

тізбек

X

F

Y

2.1-сурет

Бұл әрекеттердің әсерінен шығыс шамасы өзгеруі мүмкін. Сондықтан жүйенің кірісіне жаңа тапсырма тұрақтандырылатын режимде реттелетін щаманың мәніне нақты дәрежесін қамтамасыздандыру қажет.

Орнықтыланған режим - уақыт аралықта берілген мәндер мен реттелетін шамалар арасында айрымашылық орнықты болады.

Статикалық сипаттама.

Статикалық сипаттама

у_уст

х

2.2-сурет

элементі деп жүйенің кірісіндегі шамадан тұрақтандырылған шығыс шамаға тәуелділігін айтады.

y_уст = j(х).

Статикалық сипаттаманы көбіне у(х) қисық түрде бейнелейді (сурет. 2.2)

Статикалық элемент деп уақыт аралықта кіріс әрекеттерінің тұрақтануынан шығыс шамасының тұрақтандырылуы құралатын элементті айтамыз. Мысалы, қыздырғыштың кірісіне әртүрлі мәндегі кернеулердің келіп түсуі кезінде ол сол кернеуде температураның мәнімен ғана қыздырылады.

Астатикалық элемент деп орнықты кіріс әрекеттер кезінде шығысында орнықты жылдамдықпен, үдеумен үздікссіз сигнал өседі.

Сызықты статикалық элемент деп инерционсыз элементті айтады, ол статикалық сызықты сипатаммадан тұрады:

у_уст = К*х + а₀.

Көргендей ақ, элементтің статикалық сипаттамасы К ауытқуы бар коэффициенттен тұрады.

Сызықты сатикалық сипаттама сызықсыздан айырмашылығы өзінің қарапайымдылығымен қолайлы. Егер нысан моделі сызықсыз болса, онда оны сызықтандыру жолымен сызықты түрге түрлендіреді.

САУ статикалық деп атайды, егер де кіріс әрекеттері орнықты болған жағдай да басқару қателігі орнықты мәнге ұмтылса.

Динамикалық сипаттама.

Жүйе тұрақтандырылған режимнен басқа бір кіріс әрекеттерге өтуін ауыспалы үрдіс деп атайды. Ауыспалы үрдістерді сызбада y(t) қисығы түрінде бейнелейді.

у, °С

у_уст

t

2.3-сурет

Мысалы, кептіргіш шкафты қыздыру процесін тұрақтандырылған мәнге дейін жетіп суреттегідей түрде болса сурет 2.3.

Яғни, ауыпалы үрдіс жүйенің динамикалық қасиетін сипаттайды.

Кіріс әрекеттер уақыт бойынша өзерсе, онда ауыспалы сипаттама күнде әртүрлі болып өзеріп тұарды. Жүйенің кіріс әрекеттерін талдауы қарапайым болуы үшін типті түрдің біріне ауыстырылады. (сурет. 2.4).

t

x

t

x

t

x

t

x

а) бірінщілік сатылы

б) d-функция (дельта-функция, импульс)

в) сызықтық

г) синусоидалы (горизонталді)

2.4 -сурет

Кіріс әрекеттердің түрінен функция у(t) әртүрлі белгіленуі мүмкін:

Ауыспалы сипаттама h(t) бастапқы шарты нөлге теңгерілген біріншілік сатылы әрекеттегі нысанаінің реакция сын айтады яғни х(0) = 0 және у(0) = 0.

Импульсті сипаттама w(t) бастапқы нөл шартындағы d-функциясында нысанаінің реакциясын атайды.

Нысаның кірісіне беріліс кезінде синусоидалды сигналдың шығысы, талап бойынша орнықты режимде синусоидалды сигнал алады, бірақ та ол басқа амплитуда мен фазадан тұрады: y = A_шығ*sin(w*t + j), где A_шығ - амплитуда, w - жиілік сигналы, j - фаза.

Жиілік сипаттама (ЖС, АФС т.б.) орнықты режимде жүйеге шығыс дабылы мен амплитуданың тәуелділігін айтады.

Дифференциалды теңдеу. Сызықтау

Кез келген қозғалыс, ауыспалы процес, алмасу, энергия мен заттың түрлендірілуі дифференциалды түрде жазуға болады. (ДТ). Кез келген АРЖ процесін де дефференциалды теңдеу ретінде жазуға болады, ол жүйеде құрылымынан бөлек үрдістердің негізін анықтайды. ДТ шешу арқылы, жүйеге әртүрлі әрекеттердің кезінде тұрақталған әрі ауыспалы режимде реттелетін айнымалылардың өзгеруін табуға болады.

Дуфференциалды теңдеулерді табудағы тапсырмаларды жеңілдету үшін яғни АРЖ жұмысын толығымен сипаттайытн, жүйені жеке элементтерге бөліп, ауыспалы үрдістерді қарапайым түрде дефференциалды теңдеулермен жазып щығады. Дефференциалды теңдеуді жүріп жатқан процестің физикалық қасиетінен бөлек сипаттауда жазып алу кезінде жүйені бөлу кезінде оның физикалық тұтастылығын қарастыру қажет етпейді.

Құрылымдық схемадағы әр элемент үшін ДТ құру қажет, ол кіріс пен шығыс щамаларының тәуелділігін анықтайды.

Алдынғы элементтің шығыс шамасы кедлесіге кірісі болып табылғандықтан жеке элементтің ДТ анықтап алып, жүйенің ДТ табу қажет.

Бірақта, мұндай әдіс жеке жағдайда ғана қолайлы. Өйткені, көбіне жағдайда элементтер арасында кіріс пен шығыс шамалар арасында байланыстар сызықсыз болып, графикалық түрде беріледі

Сондықтан да ДТ алынғанымен ол сызықссыз болып табылады. Ал сызықты емес аналитикалық шешімдерді табу бола бермейді.

Осындай қолайсыз жағдайларды табу үшін барлық өзгертілетін шамалардың ауытқуын реттеу процесінде мәндері аз, сондықтан ДТ сызықсыз жағдайын сызықтыға өткізіп дифференциалды теңдеулердің сызықтандыруы өткізілуі мүмкін.

Келесіде сызықтандыру процесінің негізін кептіргіш шкафта қарастырайық. Нысаның температуралық қасиеті берілген кернеуде сызықсыз болып келесі түрде бейнеленеді.

Т

U

U₀

Т₀

объект

модель

2.5 -сурет

Сызықтандырудың графигін (х₀, у₀) нүктесінде екі айнымалылардың теңдеуінен F(х,у) = 0 қисық сызығын жанама бөлігіне ауыстыруын қарастыруға болады. (сурет 1.14), теңдеулері формула бойынша:

,

мұнда және - туындылар F тен х және у. Берілген теңдеулерді көбею деп атап, оның мәндері х және у мәндері Dх = х - х₀ и Dу = у - у₀ ауыстырылады.

ДТ сызықтандыру үйлесімді жүреді, тек оны туындыларын табу қажет болады. (, , т.б.).

Мысал 4. Сызықты емес Дефференциалды теңдеуді сызықтандыру

3xy - 4x² + 1,5 y = 5 + y

Берілген ДТ сызықты емес өйткені айнымалылар х және у сызықсыз Оны х₀ = 1, = 0, = 0 у координаттарындағы нүтесінде сызықтандырамыз Бастпақы шарты у₀ анықтау үшін ДТ мәндерін қоямыз:

3у₀ - 4 + 0 = 0 + у₀ бұдан у₀ = 2.

Қарастырылған функцияны енгіземіз

F = 3xy - 4x² + 1,5x’y - 5y’ - y

Бастапқы шарттағы туындыларды анықтаймыз:

= (3у - 8х = 3*2 - 8*1 = -2,

= (3х + 1,5x’ - 1 = 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2,

= (1,5у = 1,5*2 = 3,

= -5.

Енді,алынған коэффициенттерді қолданып, соңғы сызықты ДТ жазуға болады:

-5^.Dy’ + 2^.Dy + 3^.Dх’ - 2^.Dх = 0.

Дәріс 3. Лаплас түрлендіруі. Беріліс функция. Беріліс функцияны анықтау. Типті тізбектердің мысалдары. Тізбектердің қосылысы.

Лаплас түрлендірілуі.

АРЖ зерттеу қолданбалы математикалық әдістердің оперативтті есептелуімен жеңілдетеді. Мысалы, кейбір жүйені функционирлеудің дефференциалды теңдеуі келесі түрде болады

, (3.1)

Мұнда х және у – кіріс және шығыс шамалар. Егерде берілген теңдеуде x(t) және y(t) орнына X(s) және Y(s) функциясын қойсақ және айнымалы комплексті s қойылса, онда

және , (3.2)

Онда шығыс дефференциалды теңдеу нөлдік шартында алгебралық теңдеулерге теңгеріледі.

a₂ s² Y(s) + a₁ s Y(s) + a₀ Y(s) = b₁ X(s) + b₀ X(s).

Мұндай ДТ ден алгебралық теңдеулерге өтуін Лаплас түрлендірілуі деп атайды, формулалар (2.2) Лапласа түрлендіру формулаларына сәйкес ал алынған теңдеулерді - операторлық теңдеулер.

Жаңа функциялар X(s) және Y(s) бейнеленуі деп атайды x(t) және y(t) Лаплас бойынша, ал x(t)және y(t) нақты болып табылады ол X(s) жәнеY(s) қатынасына сәйкес болады.

Кері байланыс үшін операторлы теңдеулерден уақытаралықтан функцияға өту үшін келесі Лапластың кері түрлендірілуі әдісті қолданады. Кері Лапласты түрлендірілуідің жалпы формуласы:

, (3.3)

мұнда f(t) - нақты, F(jw) - s = jw кезінде бейнелеу, j - бірлігі, w -жиілік.

Бұл формула күрделі, сондықтан да арнайы кестелер келтірілген (кесте. 1.1 және 1.2), мұнда көбінесе кездесетін F(s) пен f(t) нақты функциялар келтірілген. Бұлар тура формуланы қолдануға мүмкіндік бермейді (2.3).

Дата добавления: 2017-01-13