Необходимые теоретические сведения 2 страница

Определение 6.4. (Циклическим) пакетом ошибок длиной называется вектор , все ненулевые координаты которого расположены среди последовательных (по циклу) координат, первая и последняя из которых отличны от нуля. Пакет ошибок называется сплошным, если вес ошибки совпадает с длиной пакета.

На рис. 6.2. приведены все возможные пакеты ошибок длиной 3 в пространстве , где поле Галуа из двух элементов 1 и 0.

а)

б)

Рис.6.2.Пакеты векторов-ошибок длиной 3 в пространстве над полем : а) весом 3; б) весом 2

Определение 6.5. Всякую вектор-ошибку ē весом можно интерпретировать различным образом как пакетную ошибку с соответствующими значениями длины b. Наименьшую из длин b при всех таких интерпретациях вектора-ошибки ē назовем диаметром D этого вектора-ошибки.

Пример 6.2. Вектор-ошибка ē = (100010) – есть ошибка веса в кодовом слове длиной n = 6, его можно рассматривать как пакет ошибок длиной 5 или пакет длиной 3. Таким образом, диаметр D этого вектора-ошибки равен 3.

Предложение 6.3. Диаметр вектора-ошибки ē весoм ω >1 с ненулевыми координатами на позициях i₁, i₂…i_ω вычисляется по формуле

(6.2)

В частности, при

(6.3)

при

(6.4)

Следствие 1. Диаметры векторов-ошибок весом 2 в точности принадлежат отрезку [2; [ n /2]+1].

Предложение 6.4. Пусть двоичное векторное пространство. Одиночные ошибки составляют один класс эквивалентности I ₁. Векторы-ошибки веса 2 принадлежат одному классу эквивалентности (Г-орбите) тогда и только тогда, когда их диаметры совпадают. По значениям диаметра множество всех двойных ошибок разбивается на ν непересекающихся классов эквивалентности I ₂, I₃,…, I_ν+1, где ν = – целая часть числа , I_k – класс двойных ошибок диаметра k, 2≤ k ≤ν+1. Для нечетных каждый из классов I_k состоит из различных ошибок. При четных класс где состоит из векторов-ошибок, а класс I_ν+1 – из двойных ошибок.

Пример 6.3. В пространстве имеется векторов-ошибок веса 2, делящихся, согласно предложению 3.7, на 7 полных Г-орбит в соответствии со значением их диаметров. Ниже приведена табл. 6.1 образующих Г-орбит двойных ошибок в 15-мерном пространстве – векторов-ошибок диаметра .

Таблица 6.1

Г-орбиты двойных ошибок в пространстве

Координаты порождающего вектора

Определение 6.6. Совокупность всех различных векторов для данного фиксированного вектора называется Ф-орбитой или циклотомической орбитой вектора при действии группы Ф на пространстве и обозначается через

По аналогией с теоремой 5.5 доказывается предложение 6.5

Предложение 6.5. Для произвольного фиксированного вектора его Ф-орбита состоит из элементов, где или делит При этом – наименьшее натуральное число с условием а Ф-орбита имеет следующую структуру: Все векторы из имеют одинаковый вес.

Действие группы Ф на векторы пространства Е₇иллюстрирует рис. 6.3.

Рис. 6.3. Действие циклотомической подстановки j и ее степеней на пространстве Е₇, в частности на вектор

Пример 6.4. Выпишем Ф-орбиты векторов весом 1 в пространстве

Таким образом, 15 векторов-ошибок весом 1 делятся на 5 Ф-орбит; 3 из них – полные, содержат по 4 вектора, 1 имеет мощность 2, 1 – мощность 1.

Предложение 6.6. Пусть , где или – делитель , – Г-орбита векторов-ошибок из , а . Тогда – также Г-орбита векторов из .

Определение 6.7. Пусть – фиксированная Г-орбита векторов-ошибок из . Совокупность всех попарно различных Г-орбит , называется Ф–орбитой класса (или циклоклассом Г-орбиты ) при действии на множестве и обозначается .

Теорема 6.6. Для произвольного класса его Ф-орбита состоит из классов, где или делит . При этом – наименьшее натуральное число с условием , а имеет следующую структуру:

.

(6.5)

Определение 6.8. Два вектора и из называются G-эквивалентными, если найдется такая подстановка , что .

Очевидно, G – эквивалентные векторы-ошибки должны иметь одинаковый вес. Заметим, что не все векторы-ошибки весом 2 попарно G - эквивалентны. Ведь одному вектору может быть G- эквивалентно не более других векторов, в силу теоремы 3.4. Векторов-ошибок весом 2 имеется при то есть при что выполняется при всех целых .

Определение 6.9. G –орбитой называется совокупность всех попарно G-эквивалентных между собой векторов-ошибок из .

Пусть – фиксированный вектор из данной G-орбиты. В силу транзитивности свойства G – эквивалентности эта орбита состоит из векторов пространства , G – эквивалентных вектору . Поэтому G-орбиту с вектором будем иногда обозначать через .

Предложение 6.7. Пусть – Г-орбита, порожденная вектором . Тогда G-орбита состоит из всех векторов, принадлежащих всем Г-орбитам из -орбиты .

Пример 6.5. В двоичном пространстве Е₃₁ имеется 15 Г-орбит ошибок веса 2, которые делятся на 3 G -орбиты по 5 Г-орбит в каждой:

;

;

,

145 Г -орбит векторов-ошибок весом 3 (пример 3.5), в свою очередь делящихся на 29 циклоклассов.

Дата добавления: 2017-02-01