Полярная система координат

Полярная система координат состоит из начала точки О, называемой полюсом и лучом ОМ, соединяющем полюс с произвольной точкой М плоскости.

- полярный радиус – вектор точки, угол , образованный лучом ОМ и полярной осью - полярный угол точки. (рис.1). Угол считается положительным при отсчёте от полярной оси против часовой стрелки.

Если точка М имеет полярные координаты и то ей же отвечает и бесчисленное множество пар полярных координат ( и [-

. M y

y. M (

o o x x=

рис. 1 рис.2

Если начало декартовой прямоугольной системы координат совместить с

полюсом, а ось Оx направить по полярной оси (рис.2), то прямоугольные координаты x и y точки М и её полярные координаты следующими формулами:

(1) , , . (2)

Пример1. Построить точки в полярной системе координат (п.с.к.): , , .

Решение. 0 . M₃

. М₁ OM₃=9

ОМ₁ =2. М₂ ОМ₂ =-2

0 0

Пример 2. Записать уравнение линии в декартовой системе координат (д.с.к.):

Решение. Из формулы (1) находим = , подставляем в уравнение кривой, а также из формулы (2) подставляем , получаем = 8 .

Возведём в квадрат обе части последнего равенства и приходим к уравнению

( = 64 .

Пример 3. Записать уравнение линии в п. с. к. ( = 4 (

Решение. Из формул (1) вместо x и y подставляем значения, получим

Пример 4. В полярной системе координат построить кривую спираль Архимеда, приняв .

0

Домашнее задание.

Построить линии в полярной системе координат

1). спираль Архимеда.

2). - гиперболическая спираль.

3). - логарифмическая спираль.4). лемниската Бернулли. 50

5).

- четырёхлепестковые розы.

6).

- трёхлепестковые розы.

7). кардиоида.

8). кардиоида.

Лекция 13. Кривые второго порядка

Определение. Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени A

1). Окружность – геометрическое место точек равноудалённых от одной точки, называемой центром.

Каноническое уравнение окружности ( C( b)-центр окружности, r – радиус окружности

Пример. Привести уравнение окружности к каноническому виду.

Решение. Выделяем полные квадраты при переменных и

( (

Ответ. ( , C (1,-2) r = 4.

2). Эллипс.

Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от 2-х данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (при условии, что эта величина больше расстояния между фокусами).

y. М(x,y)М ; M ; ;

r₁ r₂ M ; M

F₁ 0 F₂ x M . M

+ = 2

F₁ (-c,0); F₂ (c;0). После освобождения от корней и, про-

ведя некоторые преобразования, получим каноническое уравнение эллипса

, где

y

B Точки пересечения с осями: x = 0,y , y = 0,

x = . A большая ось. B малая ось.

A a. 0 A₁ x Определение. Отношение экс -

В В₁ 51

центриситет эллипса. ,

Пример. Построить эллипс , найти и фокусы.

Решение. Уравнение запишем в виде , , c= Чтобы построить эллипс, на осях координат отложим 2 по оси оx, 2b = 4 по оси оy, построим прямоугольник со сторонами 8 и 4 и в него впишем эллипс. y

4 4 x

3). Гипербола.

Определение. Гипербола– это геометрическое место точек абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от 2-х данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная (при условии, что эта величина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами).

y. M(x,y) M

r₁ r₂ Проделав преобразования, получим каноничес-

F₁(-c,0)F₂(c,0)x кое уравнение гиперболы: , где

; 2b – мнимая ось; 2 – действитель-

ная ось. - асимптоты гиперболы;

b – эксцентриситет гиперболы. Гипербо-

a a ла симметрична относительно оси оx и оy.

b Для построения гиперболы на оси оx отложим 2 ,

на оси оy 2b, строим прямоугольник с этими сто-

ронами, проводим в нём диагонали – это асимптоты гиперболы. Гипербола называется равнобочной, если Две гиперболы и называются

сопряжёнными. Фокальные радиусы ,

4). Парабола.

Определение. Парабола – множество точек, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом и данной прямой, называемой директрисой (фокус не лежит на директрисе).

y Уравнение директрисы: . MN = MF.

. M(x,y) F(, MN = QM + QN = ,

, приравняем

, возведём в квадрат

y или

x= , получим

0F( x – каноническое уравнение

параболы.

Если уравнение параболы имеет вид, ,

то парабола симметрична относительно оси оy, а уравнение директрисы y = - . y

0 x

Пример. Дана парабола y² = 6x. Составить уравнение её директрисы и найти её фокус.

Решение. 2p = 6; p = 3, x= - →уравнение директрисы. F( → фокус.

Дата добавления: 2017-02-01