Квадратичные формы

Упрощение общего уравнения кривой второго порядка

Пример 1. С помощью параллельного переноса осей получить простейшее уравнение кривой и построить её: .

Решение. Выделим полные квадраты ( - 1 – 2(; (x+1 → –

Положим ; x = X-1; y = Y+3 → X= x + 1; Y = y – 3; получаем каноническое уравнение гиперболы в новых координатах:

Y y

2

4 O₁ 4 X

2

O x

Пример 2. Поворотом осей координат на 4 упростить уравнение кривой и построить её 5 - 6xy + 5 = 32.

Решение. Запишем формулы поворота осей на 4 .

x = x’

y = x’ , подставим эти значения x и y в уравнение кривой 5 =32, произведя сокращения коэффициентов и раскрыв скобки, получим

x +4y или, разделив на 16, = 1, в новых координатах строим эллипс. Y x’

y’

2 4

o 45⁰ x

4

Определение. Квадратичной формой Q (x) в n-мерном пространстве называется скалярное произведение следующего вида: Q ( , если = (,если же , то ( =

= , то есть Q ( ,где .

Определение. Квадратичная матрица называется симметричной, если она не меняется при транспонировании, то есть

Пусть n=3, A = если n=2, то Q (.

Определение. Канонической квадратичной формой называется квадратичная форма, содержащая только квадраты переменных.

Если n = 2, то Q (, , где собственные числа матрицы А = . С помощью квадратичных форм можно кривые второго порядка приводить к каноническому виду, а также определять тип кривой.

Определение. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола задаются квадратичными формами в двумерном пространстве, причём, если:

1). - эллипс.

2). , то – гипербола.

3). = 0, то – парабола.

Пример 1. Определить тип кривой второго порядка, заданной уравнением:

Решение. Составим симметрическую матрицу из коэффициентов при переменных А = , характеристическое уравнение на собственные числа имеет вид = (1 - = 0 , . = . Ответ. Кривая - эллипс.

Пример 2. Определить тип кривой второго порядка: xy = 1.

Решение. Матрица А = ; = = 0, Произведение = . Ответ. Кривая - гипербола.

Дата добавления: 2017-02-01