Непрерывность функции

Лекция 19. Непрерывность функции. Последовательности

Сравнение бесконечно больших функций

Пусть f(x) и б.б.функции.

1. Если =0, то f(x) имеет низший порядок по сравнению с , запись или f(x) = 0[ ], ноль малый.

2. Если = С, то говорят, что отношение ограничено и пишут

f(x) = 0[ ноль большой.

Пусть функция y= f(x) определена при некотором значении x₀ и y₀ = f(x₀). Если x получит приращение , то и функция y получит приращение , то есть f(x₀ + ) = y₀ + приращение функции.

Определение 1. Функция y= f(x) называется непрерывной в точке x = x₀, если она определена в этой точке и если , то есть бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример. Показать, что функция y = непрерывна в произвольной точке.

Решение. Область определения этой функции вся числовая ось.Составим приращение функции , перейдём к пределу =0

Вывод. Функция y = непрерывна всюду.

Определение 2. Пусть функция y= f(x) непрерывна в точке x₀, тогда f(x₀ + или

В последнем равенстве обозначим x₀ + при x

. Окончательно, функция f(x) называется непрерывной в точке x₀ , если

1. f(x) – определена в точке x₀ и в некоторой её окрестности.

2. f(x) имеет предел при x = x₀, это значит, что она имеет предел слева, справа и они равны между собой, и равны значению функции в точке x =x₀.

Если в какой либо точке x₀ одно из условий не выполняется, функция называется разрывной в этой точке, точка x₀ называется точкой разрыва.

Дата добавления: 2017-02-01