Предел последовательности

Последовательности

Определение. Упорядоченное множество чисел, каждое из которых имеет свой номер называется последовательностью.

Обозначается: { x_n } = x₀ , x₁, x₂,…..x_n …, где x_n - общий член последовательности.

Пример. { x_n } = { n + b }. n = . Или b, +b, 2 +b, 3 +b, ……, n +b.

Определение. Дискретной прерывной переменной называется переменная, которая принимает отдельные оторванные друг от друга значения, { x_n }.

x

Определение. Число А называется пределом последовательности {x_n }, если найдётся такой номер N, что, начиная с этого номера выполняется условие < при n Обозначается

Раскроем последнее неравенство < - A- , геометрически

A- .. A. x_N . A+ x

n

Определение. - окрестностью точки называется интервал (

По другому определение предела:

Определение. Число А называется пределом последовательности { , если начиная с некоторого номера N все элементы последовательности оказываются в окрестности.

Вычисляются пределы дискретной переменной точно так же как и для непрерывной переменной.

Пример 1. Вычислить

Пример 2. Вычислить = .

Определение. Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел.

Определение. Последовательность y₁ ,y₂, y₃ ….y_n называется ограниченной, если существует такое число С, что выполняется неравенство .

Теорема. Всякие ограниченные последовательности имеют предел и обратно.

Пример. Дана последовательность 1, определить сходящаяся она или нет?

Решение. Как видно - это бесконечно убывающая геометрическая последовательность, можно найти её сумму S = = 2, то есть эта последовательность имеет предел, а это значит она ограничена и сходящаяся.

Дата добавления: 2017-02-01