Показательная форма комплексного числа

Произведение.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу z = x + i y поставим в соответствие точку с координатами (x, y) на плоскости R². Это соответствие взаимно однозначное и называется геометрической интерпретацией комплексного числа.

y Множество точек z образует комп - л лксную плоскость, которую будем обоз-

z₃ z₂ начать (z). Точки z – это концы векторов,

проведённых из начала координат.

z₄ z₁ Как и вектор, комплексное число можно

0 x определить с помощью угла и длины век-

тора, и r т. е., аргумента и модуля (ра-

диуса). r = , с точностью до

2k , k = 0,

Рис.1 Комплексная плоскость

Так как

, (2)

то r =

где главное значение аргумента z, удовлетворяющее условиям -

0

Из рис.1 следует, что

Запишем таблицу для определения аргумента комплексного числа z.

Для значения z=0 аргумент не определён.

Используя формулы (2), запишем: z = x+ iy = r cos +irsin = r (cos

-

- тригонометрическая форма комплексного числа. (3)

Даны два комплексных числа

z₁= r₁ (cos

z₁ ) + i(cos [ cos( т.е. при умножении

Arg

Если имеется n одинаковых сомножителей z ……. ,то [r (cos

(cos , окончательно:

- формула Муавра. ( 4)

2). Деление.

.

Таким образом при делении: = ; Arg

3). Извлечение корня n- й степени из комплексного числа.

Определение. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое число , что

. (5)

Обозначим z =

возведём в n-ю степень по формуле Муавра.

Комплексные числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому

= ; ;

(6)

Пример. Вычислить ;

Решение. В формуле (6) z = 1; r = 1. tg n=3.

= 1

k=0, = 1

k=1, =1

k = 2, = cos .

Любое число z можно записать в показательной форме

(7)

Эта форма комплексного числа получается, если применить формулу Эйлера

(8)

В показательной форме удобно производить действия:

Пример. Записать в показательной форме число z = 1 –

Решение. r = 2; tg , подставляем в формулу (7) z = 2 .

Лекция 21. Определение производной, её механический, геометрический смысл. Основные правила дифференцирования.

Пусть имеем непрерывную функцию y = f(x).

1). Дадим приращение x .

2). Составим .

3).

Определение. Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение

аргумента стремиться к 0. (При условии, что этот предел существует).

Записывается так: f’ (x) = = y’ = .

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке x₀ называется предел справа (слева) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

f’(x₀ .

Операция нахождения производной функции f(x) называется дифференцированием этой функции.

Дата добавления: 2017-02-01