Свойства непрерывных функций на отрезке

Определение.

1. Точкой разрыва 1-го рода функции y=f(x) называется такая точка x₀ в кото-

рой функция имеет левый и правый пределы неравные между собой.

2. Точкой разрыва 2-го рода или бесконечного разрыва называется точка x₀ в которой хотя бы один из пределов не существует или равен .

Пример 1. Установить характер точки разрыва функции y = .

Решение. В точке x=0 функция не существует, то есть ,значит x=0 точка разрыва 2-го рода. Чтобы изобразить график функции в окрестности точ-

ки разрыва, найдём пределы слева и справа.

y

; .

x

Пример 2. Установить характер точек разрыва для функции y=

Решение. В окрестности точки x=3 функция меняет своё значение, поэтому в этой точке может быть разрыв. Проверим это, найдём все пределы.

; =9; y(3)=9.

Ответ. Так как предел слева не равен пределу справа, то x=3 точка разрыва 1-го рода. y

9- - - - - -

7-- - - - -

0 3 x

Теорема 1. Если функции и непрерывны в точке x₀, то их сумма, произведение, отношение также непрерывны в точке x₀, при , то есть - непрерывные функции.

Теорема 2. Сложная функция y = f [ , образованная из 2-х непрерывных функций f (x) и есть функция непрерывная.

Пример. Y = sin (x³ + 4x – 2); y = .

1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [ , b ], то она достигает на этом отрезке (сегменте) своего наибольшего и наименьшего значения

Y

0 x₁ x₂ b x

2. Если функция f(x) непрерывна на [ , b ], то она ограничена на этом отрезке m , где m – наименьшее, а М наибольшее значения функции на этом отрезке.

3. Если функция f(x) непрерывна на [ , b ] и на концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка найдётся по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю.

y

0 c b x

4. Если функция f(x) непрерывна на [ , b ] и f()=A,f(b) = B, то найдётся точкa x=c, что f (c) = C. y

A C B

0 c b x

Дата добавления: 2017-02-01