Алгебраическая форма комплексного числa

Лекция 20. Комплексные числа, действия над комплексными числами.

Понятие комплексного числа возникло в первую очередь в результате потребностей автоматизации вычислений. Даже простейшие алгебраические операции над действительными числами выводят за пределы области действительных чисел. Так, например, решение простейшего уравнения x² + 1 =0 не может быть разрешено в действительных числах, так как x =

Тем самым, нужно или отказаться от автоматического применения установленных методов решения и каждый раз проводить подробное исследование возможности их применения, или расширить область действительных чисел, с тем чтобы основные алгебраические операции всегда были выполнимы. Таким расширением действительных чисел являются комплексные числа.

Определение. Комплексным числом называется двучлен вида

, (1)

где x и y – действительные числа; – const, такое, что

x = Re z называется действительной частью комплексного числа; y = Im z - мнимая часть комплексного числа.

Определение. Два комплексных числа называются равными, когда равны их действительные и мнимые части.

Если z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ +iy₂, то при z₁=z₂ x₁ = x₂; y₁ = y₂.

Определение. Комплексное число называется сопряжённым комплексному числу z= x+ iy.

Сумма комплексных чисел есть комплексное число:

z = z₁ z₂ = (x₁ x₂) +i (y₁ y₂).

Произведение комплексных чисел есть комплексное число:

z₁ z₂ = (x₁ +i y₁) (x₂ +i y₂) = x₁ x₂ + i x₁y₂ + ix₂y₁ – y₁y₂ = (x₁x₂ –y₁y₂)+ i (x₁y₂ +x₂y₁).

Отношение комплексных чиселесть комплексное число: = = .

Дата добавления: 2017-02-01