Производная обратной функции

Лекция 22. Производные некоторых элементарных функций.

Теорема о сложной функции

Основные правила дифференцирования

Дифференцируемость функции

Определение. Если функция y= f(x) в точке x = x₀,имеет производную, то есть существует то функция называется дифференцируемой при x = x₀.

Теорема. Если функция y= f(x) – дифференцируема в точке x₀, то она в этой точке непрерывна.

Доказательство. Так как функция дифференцируема, то , а по теореме ( это значит , где б.м.функция, отсюда , это условие непрерывности функции ч.т.д..

Замечание. Обратное утверждение неверно.

Y

x₀

0 x

Из рисунка видно, что в точке x₀ функция непрерывна, а касательная, проведённая к графику функции в этой точке параллельна оси ox, то есть tg

1. [ c , c=const.

2. [u(x)

3. [u(x) .

4. .

П и u = - непрерывна, тогда функция y = f [ - сложная функция.

Теорема. Если u = имеет производную u’(x) в точке x,а y = f(u) → y’(u) в точке u, то y =f[ в данной точке x имеет производную y’_x, которая находится по формуле:

Доказательство. Дадим x приращение , y . Составим очевидное тождество , перейдём к пределу = = , поэтому = = y’_{u x} ч.т.д..

1. y = c – const. y

y=c

0 x₀ x₀+ x

Из рисунка видно, что y = 0, значит

2. y = - показательная функция, > 0; ; ( = , воспользуемся формулой , получим .

, если ,то

4. y = – логарифмическая функция.

).

(, то есть

, если , то

Из школы известно:

5. y = sinx; ; 6. y = cos x;

7. y = - степенная функция. n- любое действительное число.

8. y = tg x;

9. y = ctg x;

Пусть y = f(x) и x = - 2 непрерывные взаимно обратные функции. Пусть известно f ’(x) = Чтобы найти , надо найти т.к. при функции непрерывны, то , окончательно = или

Дата добавления: 2017-02-01