Дифференциалы высших порядков

Геометрическое значение дифференциала функции

Свойства дифференциала функции

Задача нахождения дифференциала функции сводится к нахождению производной функции, так как , поэтому все свойства производной распространяются и на дифференциал:

1). d(u

2). d(u

3). d(.

Пример 1. Найти дифференциал функции y = .

Решение. dy =

Пример 2. Найти дифференциал функции y, если sin(x+y) = .

Решение. Функция y задана неявно, найдём сначала y’. Дифференцируем обе части равенства cos(x+y)(1+y’) = отсюда выражаем y’.

Y’ = = , dy = dx.

Инвариантность формы дифференциала функции

Если y = f(u), где u = , y = f[ , то = f’_u (u) → dy = f’_u .

du

Вывод. Форма дифференциала не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.

Пример. Найти дифференциал функции y = sin .

Решение. y = sinu, u = , dy = cosu .

y

M₁

T

M N

x

0 x x+

М(x,y); M ₁(x+ ; NT = MN tg

NT = f’(x) →

Вывод. Дифференциал функции f(x), соответствующий значениям x и равен приращению ординаты касательной к кривой y = f(x) в данной точке x.

Замечание. В данном случае но возможно и .

y N

M₂ Т

М₁

0 x NT = dy

Пусть задана функция y = f(x), дифференциал которой dy = f’(x) dx является в свою очередь также функцией от x.

Определение. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d²y.

d(dy) = d²y; d²y = [f’(x)dx]’dx, так как dx = то d²y = [ f’(x) ]’ → d²y = f’’(x) , принято записывать (dx)² = dx², аналогично d³y = f’’’(x) ……

Пример. Найти дифференциал второго порядка для функции y=

Решение. dy = ( =2 ; d²y = (2

Дата добавления: 2017-02-01