Неявные функции и их дифференцирование

Лекция 23. Неявные функции и их дифференцирование. Производные высших порядков.

Примеры.

Y y

Производные гиперболических функций

Примеры.

1. y = , обратная функция x = sin y в (; = .

2. Аналогично, ; ;

Определение. Гиперболическим синусом sh x, гиперболическим косинусом сh x, гиперболическим th x, cth x называются функции вида:

Sh x = ; ch x = ; th x = ; cth =

Справедливы соотношения: c th x= ; cthx = .

y=chx

y=cthx

1 1

Y=thx

0 x 0 x

Y=shx -1

График функции y = ch x называется цепной линией.

(sh x)’ = ch x; (ch x)’ = sh x; (th x)’ = ; (cth x)’ = - .

Доказать самим.

Таблица основных формул дифференцирования

для сложной функции y’_x =y’_u .

U = u(x)

1. (С)’ = 0. 11. ( .

2. ( 12. (

3. ( . 13. (arcsin u)’ =

4. ( 14. (arccos u)’ = - .

5. ( 15. (arctg u)’ = .

6. ( . 16. (arcctg u)’ = - .

7. (sin u)’ = cos u 17. (sh u)’ = ch u .

8. (cos u)’ = - sin u 18. (ch u)’ = sh u .

9. (tg u)’ = . 19. (th u)’ = .

10. (ctg u)’ =- . 20. (cth u)’ = - .

1. Найти y’, если y = sin x³.

Решение. Воспользуемся формулой 7 из таблицы: (sin x³)’ = cos x³ =

= cos x³ . Ответ: (sin x³)’ = cos x³ .

2. Найти y’, если y = .

Решение. Воспользуемся формулой 6 из таблицы: ()’ =

= Ответ: ()’ =

Определение. Функция y, заданная уравнением F (x,y) = 0 называется неявной, то есть неявная функция задаётся уравнением, связывающим независимую переменную x с функцией y, неразрешённым относительно y.

Правило. Чтобы найти производную от неявной функции, нужно дифференцировать по x обе части уравнения с учётом, что y зависит от x по правилам дифференцирования сложной функции.

Пример. Найти y’, если функция y задана уравнением: xy² = .

Решение. (xy²)’=(. y² + 2xyy’ = y² + 2xyy’ = ; сгруппируем члены, содержащие y’, получим y’(2xy - , отсюда y’ =

Дата добавления: 2017-02-01