Геометрический смысл производной

Механический смысл производной

. Пусть материальная точка движется по прямой по закону s=f(t), где t – время, а s- путь за время t.

S₀ =f(t₀), S = f(t₀+ ,

V_cp.= средняя скорость не отра-

t₀ t₀ + s жает истинного изменения скорос-

ти, так как в начале отрезка точка может двигаться очень быстро, а потом может и наоборот медленно.Поэтому, чтобы точнее охарактеризовать движение пользуются пределом, то есть тот предел к которому стремиться средняя скорость при .

V = S’(t).

Вывод. Скорость неравномерного движения в данный момент есть предел отношения приращения пути к приращению времени и равна производной от пути по времени.

. Пусть дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длины .

Масса стержня есть функция точки

m = f(x),

В физике средняя плотность стержня на отрезке от x₀ до x₀+ находится по формуле

Определение. Плотностью стержня в точке x₀ называется предел средней

плотности, когда длина отрезка

= m_x’

Вывод. Плотность – это производная массы по длине x.

Пусть f(x) – непрерывная функция.

y

секущая

касательная

y₀

0 x

x₀ x₀+

k_кас. = tg ; k_cек. = tg = , при секущая будет стремиться занять положение касательной, то есть . Таким образом

k_кас. = tg = .

Вывод. Производная функции в точке x₀ есть угловой коэффициент касательной, проведённой в точку x₀ к кривой.

– геометрический смысл производной.

Воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом: y-y₀ = tg ) или - уравнение касательной к графику функции y=f(x).

Определение. Нормалью к кривой y=f(x) в данной точке называется прямая перпендикулярная к касательной, проведённой к графику функции y=f(x) в точке М₀.

- уравнение нормали

Определение. Угол между двумя кривыми, заданными уравнениями y = f₁ ( x) и y = f₂ (x) в их общей точке М₀ ( x₀,y₀) понимается угол между касательными М₀ А и М₀ В к этим кривым в точке М₀.

y

f₁

f₂

0 x

Дата добавления: 2017-02-01