Сравнение бесконечно малых функций

Пример 1.

Одно свойство логарифма и предела функции.

Малых функций.

Примеры.

Вычислить

Вычислить: .

Лекция18. Второй классический предел. Сравнение бесконечно

Теорема. Функция y = (1+ имеет предел при и он равен 2,71828.

Доказательство. Нарисуем график функции y= .

y tg = , если h то ⁰

tg ⁰ , то есть

. B , с другой стороны

45⁰ , таким образом

0 1. A hc x

Пусть , тогда при h , и получим

ещё одну форму этого предела

Если существует , то

Пользуясь вторым классическим пределом, вычислить: ^x+3.

Решение. ^x+3 = ^x+3= ^x+3= ^{(x+3) 4 (x-1) / 4 (x-1)} = = = Ответ:

Пример 2. Вычислить:

Сравнить две бесконечно малые функции – это значит, найти предел их отношения при x ₀.

Пусть – б.м.функции.

1. Функции называются б. м. одного и того же порядка малости, если = c =const .

Пример. Сравнить функции: = x²-4 и = x²-5x +6при x

Решение.

Вывод. Функции одного и того же порядка малости.

2. Функция называется б.м. более высокого порядка малости чем , если = 0.

Пример. Сравнить функции = и = x при x .

Решение. .

Вывод. Функция более высокого порядка малости чем функция

3. Функция называется б.м. более низкого порядка малости чем если

.

4. Функции называются не сравнимыми,если не существует. 69

Пример. Пусть = , , x .

Решение. = , не сущуствует.

Вывод. Функции не сравнимы.

5. Две функции называются эквивалентными или равносильными, если =1. Обозначается

Пример. Вычислить =

Вывод. arcsinx

Можно показать, что arctg x .

Составим таблицу эквивалентных функций: при x

Теорема. Предел отношения 2-х б.м. функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.

Доказательство. Пусть . Докажем, что . Имеем ]=

= ч.т.д. 1

Замечание.Под знаком предела можно заменять функции им эквивалентными.

Примеры. Вычислить: ^1/2x = = = .

.

Дата добавления: 2017-02-01