Один признак существования предела функции

Свойства пределов

1. Если im f(x)= A, im (x) = B, то im{ f(x) x)} = im f(x) im (x).

2. Если im f(x)= A, im (x) = B, то im{ f(x) = im f(x) im (x).

3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

im{k (x)} = k im (x), k – const.

4. Если im f(x)= A, im (x) = B, В , то .

5. = ⁿ

6. с = сonst.

Неопределённые выражения и их раскрытие

Определение. Выражения вида: ,

Называются неопределёнными под знаком предела и требуют раскрытия.

1.Неопределённость раскрывается, если числитель и знаменатель разложить на простые множители.

= .

2. раскрывается, если числитель и знаменатель дроби разделить на наивысшую степень x.

.

Замечание. Если степени числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях x.

3.( приводится к неопределённости .

Пример1. = ( - )= = = = .

Пример 2. Вычислить =

=

Если даны функции удовлетворяющие неравенству на некотором интервале имеют один и тот же предел, то и функция f(x) будет иметь тот же самый предел.

Доказательство геометрически: пусть

y

b+

b

f(x)

b-

0 x

Первый классический предел (замечательный)

Теорема. Функция имеет предел при x и он равен единице, то есть

=1.

Доказательство. Рассмотрим окружность

y с r=1, 0 < x < . OA=1

x 0 0 B B   bb BBBBBBbbB b B    

M c S_омА< S_{сег.МОА} < S _CОА

S _МОА = ОА =

0 A x S_{ceкт.МОА} = =

S _CОА =

, разделим на sinx

1< , перейдём к пределу, предварительно, перевернув неравенство по признаку существования предела функции имеем ч.т.д.

Если x<0, то и эта теорема справедлива для любого x.

Дата добавления: 2017-02-01