Понятие функции

Понятие множества

Лекция 16. Понятие множества, функции, предела функции.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Определение. Множество – это совокупность каких – либо объектов. Обозначаются множества А, В, М…. Элементы множества обозначаются a,b,c,x,y ….

Если элемент принадлежит множеству,то x Є M, если не принадлежит,то x M.

Определение. Объединением или суммой множеств М_i называется множество М всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств М_i.

Обозначается: М = М₁ М₂ … М_n или М =

М₄

М₃

М₂

М₁

ММ

М = М₁ М₂ М₃ М₄

Определение. Пересечением множеств М₁, М₂ …..М_n называется множество

М = М₁ М₂ М₃ … М_n, которому принадлежат элементы всех множеств М_n одновременно.

М₁

М

М₂

М = М₁ М₂

Символ _x означает ‘’ для всех x ‘’ или ‘’ для каждого x ‘’ или ‘’каково бы ни было x “,” для любого x “. Символ _x читается “ существует такое x,что “ или “ для некоторых x “. А В из А следует В; А В из А следует В и наоборот из В следует А.

Определение. Функцией называется правило (соответствие), по которому каждому элементу x некоторого множества М соответствует единственный элемент y другого множества L. Предполагаем, что М и L множества вещественных чисел.

y

x

При этом x называется независимой переменной или аргументом; y – зависимая переменная или функция. Обозначается y = f(x), f – правило. Например: y = .

Sin

M L

Определение. Совокупность значений x, для которых определяются значения y в силу правила f(x), называется областью определения функции или областью существования.

Определение. Множество всех значений, принимаемых функцией y называется областью значений функции.

Способы задания функции

1. Аналитический – формулой. F (x) =

2. Табличный. Составляется таблица, в которой ряд значений x и y.

x	10^0	20^0	30^0
Y	1,6	1,8

3. Графический способ. 0 1 x y =

Определение. Элементарной называется функция, которую можно задать одним выражением, составленным из основных элементарных функций с помощью 4-х арифметических действий (сложения, вычитания, умножения, деления).

Определение. Сложной функцией (или функцией от функции) y = f [ называется функция, определённая следующим образом: каждому x из области определения функции соответствует такое значение y, что y = f(u), где u = Переменная u называется промежуточным аргументом сложной функции. Например: y = → y = , где u = sinx.

Определение. Функция y = f(x) называется чётной, если f(-x) = f(x). График такой функции симметричен относительно оси оy.

Определение. Функция y = f(x) называется нечётной, если f(-x) =- f(x). График

нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Определение. Функция x = называется обратной для функции y = f(x), если область определения функции y является областью изменения функции x.

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла.

Y= x³

x=y³

0 x

Предел функции при x

Определение. Число А называется пределом функции y= f(x) при x , если каково бы ни было положительное число , можно найти такое число N, что для всех x, больших N, выполняется неравенство Обозначается .

Коротко это определение можно записать так: число А называется пределом функции y = f(x) при x , если ( N _x (x .

Раскроем последнее неравенство. – < f(x) – A < или (A – < f(x) <(A + Геометрически это неравенство можно изобразить следующим образом:

y

A A+

A-

0 .N x

Определение. Число А называется пределом функции y =f(x) при x , если ( (x <M) .

Изобразим геометрически.

Y A+

A

A-

0. M x

Предел функции при x

Определение. Число А называется пределом функции y=f(x) при x x₀ слева, если каково бы ни было положительное число , найдётся такое число N (меньше x₀), что для всех x, лежащих между N и x₀ (N<x<x₀ ),выполняется неравенство Обозначается: .

Число А называется пределом функции y = f(x) при x x₀ слева, если ( x₀) (N<x<x₀) < . Геометрически:

Y

A+

A

A-

0. N x₀ x

Определение. Число А называется пределом функции y =f(x) при x x₀ справа, если каково бы ни было положительное число найдётся такое число М >x₀, что для всех x,лежащих между x₀ и М (x₀ <x<M) выполняется неравенство Обозначается

Число А называется пределом функции y =f(x) при x x₀ справа, если ( x₀) (x₀<x<M) < . Геометрически:

y

A+

A

A-

0 x₀. M x

Пределы слева и справа называются односторонними пределами.

Если оба предела равны, то говорят, что функция y(x) в точке x = x₀ имеет предел.

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при x x₀, если каково бы ни было >0, можно найти такие числа M и N (N<x₀ <M), что для всех x, лежащих в интервале ] N, M [ выполняется неравенство

Число А называется пределом функции y = f(x) при x x₀, если ( ₀ <M) (x ) Геометрически:

y

A+

A

A-

0 .N.x ₀ .M x

Определение. Любой интервал, содержащий точку x₀ называется окрестностью точки x₀ .

Пример. Проверить, есть ли предел функции f(x) = в

точке x₀ =3.

Решение. Найдём односторонние пределы: =2; =0. 2 , односторонние пределы не равны, значит в точке x₀ =3 функция не имеет предела. Геометрически:

y

0. 3. 4 x

Определение. Функция y=f(x) называется бесконечно малой (б.м) при x ,при x x₀, если её предел равен нулю.

Определение. Функция y=f(x) называется бесконечно большой ( б.б) при x ,при x x₀, если для любого положительного числа L можно подобрать такое число N, что для всех значений x>N, выполняется неравенство >L.

Символически это записывается так: ,

Принято символически обозначать: =const.

Примеры. функция; = 2

не б.м. функция.

Определение. Функция y=f(x) называется ограниченной на некотором множестве М значений аргумента x, если существует такое число С, что для всех x выполняется неравенство <C.

Лекция17. Основные теоремы о бесконечно малых функциях и о пределах при x , x x₀, x

Теорема 1. Если и две бесконечно малые функции, то и их - б.м. функция.

Теорема 2. Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией.

Теорема 3. Произведение 2-х б.м. функций есть функция б.м.; произведение б.м. функции на число есть функция б.м..

Теорема 4. Если функция y = f(x) является б.б., то функция есть б.м. и обратно, если f(x) б.м., то есть б.б. функция.

Теорема 5. Если функция имеет предел на некотором интервале, то она ограничена на нём.

Теорема 6. ( Если функция y = f(x) имеет предел, равный А, то её можно представить, как сумму числа А и некоторой б.м. функции, то есть , то f(x) = A + , где ) – б. м. функция.

Доказательство. Пусть , рассмотрим соотношение f(x) – A = , докажем, что - б.м. функция. Из определения предела следует

0) < ,то есть < , так как – сколь угодно малое положительное число, то и подавно мало и можно считать его б.м. величиной,ч. т.д..

Теорема 7. (обратная). Если функцию можно представить,как сумму числа А и некоторой б.м. функции, то число А является пределом функции f(x).

Дата добавления: 2017-02-01