Лінійна модель множинної регресії

Розглянемо лінійну модель множинної регресії

.

У лінійній множинній регресії параметри при називаються коефіцієнтами «чистої» регресії. Вони характеризують середню зміну результату зі зміною відповідного чинника на одиницю при незміненому значенні інших чинників, закріплених на середньому рівні.

Класичний підхід до оцінювання параметрів лінійної моделі множинної регресії заснований на методі найменших квадратів (МНК). Отже, для знаходження параметрів лінійного рівняння множинної регресії приходимо до системи лінійних нормальних рівнянь (для моделі двох чинників):

Метод найменших квадратів застосовний і до рівняння множинної регресії в стандартизованому масштабі:

де - стандартизовані змінні:

, , (2.1)

для яких середнє значення рівне нулю: , а середнє квадратичне відхилення рівне одиниці:; - стандартизовані коефіцієнти регресії.

Стандартизовані коефіцієнти регресії показують, на скільки одиниць зміниться в середньому результат, якщо відповідний чинник зміниться на одну одиницю при незмінному середньому рівні інших чинників. Внаслідок того, що всі змінні задані як центровані і нормовані, стандартизовані коефіцієнти регресії можна порівнювати між собою. Порівнюючи їх один з одним, можна ранжувати чинники по силі їх дії на результат. У цьому основна перевага стандартизованих коефіцієнтів регресії на відміну від коефіцієнтів «чистої» регресії, які незрівнянні між собою.

Коефіцієнти «чистої» регресії пов'язані із стандартизованими коефіцієнтами регресії таким чином:

.

Тому можна переходити від рівняння регресії в стандартизованому масштабі до рівняння регресії в натуральному масштабі змінних, при цьому параметр визначається як

.

Розглянута ідея стандартизованих коефіцієнтів регресії дозволяє використовувати їх при відсіві чинників - з моделі виключаються чинники з найменшим значенням .

На основі лінійного рівняння множинної регресії

можуть бути знайдені середні по сукупності показники еластичності:

які показують на скільки відсотків в середньому зміниться результат, при зміні відповідного чинника на 1%. Середні показники еластичності можна порівнювати один з одним і відповідно ранжувати чинники за силою їх дії на результат.

Приклад 2 (для скорочення об'єму обчислень обмежимося тільки десятьма спостереженнями).

Хай є наступні дані (умовні) про змінний видобуток вугілля на одного робочого (т), потужності пласта (м) і рівні механізації робіт (%), що характеризують процес видобутку вугілля у 10 шахтах

№

Досліджуємо на мультиколінеарність за допомогою алгоритму Фаррара - Глобера

1. Критерій Пірсона

де - визначник матриці : .

Отримане значення критерію порівнюється з даними таблиць при степенях свободи і рівні значущості (). Оскільки , то в масиві пояснюючих змінних мультиколінеарності немає.

2. - критерій Стьюдента

.

Фактичне значення порівнюється з табличним при степенях свободи і рівні значущості ().

Оскільки , то між чинниками і відсутня мультиколінеарність.

3. критерій Фішера

де - діагональні елементи матриці

Фактичне значення порівнюють з табличним при і степенях свободи і рівні значущості (). Оскільки , мультиколінеарність між і відсутній.

Припускаючи, що між змінними , , існує лінійна кореляційна залежність, знайдемо рівняння регресії по і .

Для зручності подальших обчислень складаємо таблицю:

№
Сума
Середнє значення	9,4	6,3	6,8	90,8	41,7	49,6
	2,44	2,01	3,36	–	–	–
	1,56	1,42	1,83	–	–	–

№
				5,13	0,016
				8,79	1,464
				9,64	0,127
				5,98	1,038
				5,86	0,741
				6,23	0,052
				6,35	0,121
				5,61	0,377
				5,13	0,762
				9,28	1,631
Сума					6,329
Середнє значення	60,3	66,4	44,5	–	–
	–	–	–	–	–
	–	–	–	–	–

Для знаходження параметрів рівняння регресії в даному випадку необхідно вирішити наступну систему нормальних рівнянь:

Звідки отримуємо, що , , . Тобто отримали наступне рівняння множинної регресії:

.

Воно показує, що при збільшенні тільки потужності пласта (при незмінному ) на 1 м видобуток вугілля на одного робочого збільшиться в середньому на 0,854 т, а при збільшенні тільки рівня механізації робіт (при незмінному ) на 1% - в середньому на 0,367 т.

Знайдемо рівняння множинної регресії у стандартизованому масштабі:

при цьому стандартизовані коефіцієнти регресії будуть

.

Тобто рівняння виглядатиме таким чином:

Оскільки стандартизовані коефіцієнти регресії можна порівнювати між собою, то можна сказати, що потужність пласта надає більший вплив на змінний видобуток вугілля, чим рівень механізації робіт.

Дата добавления: 2017-02-01