Энергия магнитного поля. Объемная плотность энергии магнитного поля

При изменении потока магнитной индукции, охватываемого контуром, в контуре, в соответствии с законом Фарадея, возникает ЭДС индукции.

У изолированного контура поток электромагнитной индукции Ф возникает за счет магнитного поля, создаваемого током в контуре. При изменении силы тока изменяется поток магнитной индукции Ф, в контуре возникает ЭДС самоиндукции. По правилу Ленца она своим действием препятствует увеличению силы тока. Для увеличения силы тока необходимо, чтобы сторонняя ЭДС источника должна совершить работу против ЭДС самоиндукции.

Если в цепи течет постоянный ток, то энергия, поступающая в цепь из источника тока, расходуется на выделение джоулевой теплоты и на совершение работы в потребителе энергии. Индукция магнитного поля, как и его энергия, при этом неизменна. Индукция меняется с изменением тока. Следовательно, источник сторонней ЭДС передает в цепь энергию на создание магнитного поля в процессе увеличения силы тока. Вычислив работу, совершаемую источником сторонней ЭДС по увеличению силы тока от нуля до конечного значения, можно рассчитать энергию магнитного поля.

За время dt по проводнику проходит электрический заряд и, следовательно, против ЭДС самоиндукции источник сторонних сил совершает работу

. (4.33)

При совершении этой работы происходит превращение энергии источника тока в энергию магнитного поля тока в контуре. Поэтому изменение энергии магнитного поля связано с изменением потока соотношением

. (4.34)

Индукция магнитного поля, в соответствии с законом Био-Савара-Лапласа, линейно зависит от силы тока. Поэтому при переменной силе тока, протекшего по неподвижному жесткому контуру, индукция в каждой точке растет пропорционально силе тока. А это означает, что поток магнитной индукции Ф через фиксированную неподвижную площадь также пропорционален силе тока, и поэтому

Ф = LI, (4.35)

где L - индуктивность контура, не зависящая от силы тока и индукции магнитного поля.

Подставляя (4.35) в (4.34), находим

. (4.36)

Интегрируя обе части (4.36) от I = 0 до некоторого значения I, получаем

. (4.37)

Формула (4.37) определяет энергию магнитного поля, создаваемого током I в контуре, индуктивность которого L.

Аналогично можно найти энергию магнитного поля двух контуров с током. При этом надо учесть, что ЭДС индукции в каждом контуре возникает не только за счет изменения потока индукции магнитного поля, создаваемого током этого контура, но и за счет изменения потока индукции магнитного поля, создаваемого током, текущим в другом контуре.

Для ЭДС индукции, возникших в первом и втором контурах, будем иметь

; (4.38)

. (4.39)

Работа, совершаемая источниками сторонних ЭДС контуров в течение времени dt, равна

. (4.40)

Учитывая, что затрачиваемая на увеличение силы тока работа равна энергии образовавшегося при этом магнитного поля, после интегрирования обеих частей равенства (4.40) от нулевых значений силы тока в контурах I₁ = 0, I₂ = 0 до их значений I₁ и I₂, получаем

. (4.41)

Формула (4.41) определяет энергию магнитного поля, создаваемого токами I₁ и I₂. Она легко обобщается на случай N контуров:

, (4.42)

где L_ik при i = k называется индуктивностью i-го контура, а при i ¹k – взаимной индуктивностью i-го и k-го контуров.

Величину L_ik при i ¹k можно определить по формуле

, (4.43)

где , - элементы i-го и k-го контуров;

r_ik - расстояние между ними.

Из уравнения (4.43) следует равенство L_ik = L_ki.

Магнитное поле заданных токов распределено по всему пространству. Нетрудно рассчитать энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу объема магнитного поля. Для этого лучше всего воспользоваться однородным магнитным полем, которое может существовать внутри длинного соленоида.

В этом случае магнитный поток Ф, сцепленный с N витками соленоида, равен произведению этого числа на магнитный поток Ф_о, пронизывающий каждый из витков, площадь которого S:

Ф = Ф_оN = NBS×cosa = NBS, (4.44)

где a - угол между направлениями положительной нормали n к площади витка и вектора B в данном месте соленоида. В рассматриваемом случае cosa = 1.

Как известно, напряженность магнитного поля длинного соленоида

, (4.45)

где - число витков, приходящиеся на единицу длины соленоида;

- длина соленоида;

I - ток в соленоиде.

Из формулы (4.45) для силы тока имеем

. (4.46)

Тогда энергия магнитного поля соленоида

, (4.47)

где V = S - объем соленоида, заполненный однородным магнитным полем.

Объемная плотность энергии магнитного поля – это физическая величина, которая показывает, какой энергией обладает магнитное поле, занимающее единицу объема пространства.

По определению

. (4.48)

Объемная плотность магнитного поля длинного соленоида

. (4.49)

Из выражения (4.49) видно, что объемная плотность энергии магнитного поля в каждой точке пространства определяется значением векторов B и H поля в этой точке и не зависит от того, какими источниками это магнитное поле создано.

В неоднородном магнитном поле энергия dW магнитного поля элемента объема dV равна

. (4.50)

Энергию неоднородного магнитного поля, занимающего какой-либо объем пространства, можно определить, интегрируя (4.50) по объему V:

. (4.51)

Дата добавления: 2017-02-01