КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Признаки оптимальности начального допустимого плана
Теорема 1. Пусть в правильной задаче ЛП целевая функция , где , , …, – базисные, а , …, – свободные переменные. Тогда: 1) если все , то начальный допустимый план – единственный оптимальный (т.е. ); 2) если все , то оптимальные планы имеют вид: для свободная переменная ; для свободная переменная – произвольная, но удовлетворяющая всем ограничениям; базисные переменные выражаются через свободные переменные из ограничений. Следствие. Если все и есть коэффициенты , то по формуле (2) имеем бесконечное множество решений (альтернативные оптимальные планы), для которых оптимальное значение одинаково . Теорема 2. Если в правильной задаче ЛП в целевой функции есть коэффициент при свободной переменной , возможны следующие случаи: 1) при наличии среди коэффициентов ограничений соответствующего столбца хоть одного положительного начальный допустимый план можно улучшить, взяв этот столбец за ключевой и сделав симплексное преобразование; 2) при условии, что все коэффициенты ограничений этого столбца , задача ЛП не имеет решения . Следствие. Если в правильной задаче ЛП все коэффициенты целевой функции при свободных переменных неотрицательны, то оптимальность достигнута. В этом случае имеется одно решение при условии, что все коэффициенты , и множество решений при условии, что есть хоть одно . Если же есть отрицательный коэффициент целевой функции при свободной переменной, то оптимальности нет. В этом случае или возможно симплексное преобразование (которое улучшит начальный допустимый план), или проделать симплексное преобразование невозможно, и задача ЛП неразрешима. Например, для правильной формы примера 18 для единственной свободной переменной коэффициент в целевой функции и поэтому оптимальное решение и .
Пример 19. Найдем решение для задачи ЛП: , где ограничения Расширенная матрица задачи имеет правильную форму. При свободных переменных , и коэффициенты неотрицательные, а значит, оптимальность достигнута, но так как коэффициент (при ), то имеются альтернативные оптимальные решения. Коэффициенты и и поэтому свободные переменные и . Свободная переменная , у которой , должна удовлетворять всем ограничениям :
. Выражая базисные переменные , и через свободную , получим общий вид оптимальных решений (общее решение) , где . Оптимальное значение . Пример 20. В условиях примера 16 найти оптимальное решение симплексным методом. Решение. Приведем задачу к каноническому виду , . это правильная форма с отрицательными коэффициентами при свободных переменных в целевой функции. Проведем симплексные преобразования (теорема 2, п.1). Находим минимум отношений для первого столбца . Проводим симплексные преобразования для этого ключевого элемента
. Снова находим минимум отношений для второго столбца (отрицательный коэффициент целевой функции –1/2) . Проводим симплексные преобразования для этого ключевого элемента:
. Так как все коэффициенты целевой функции при свободных переменных х 4, х 5 больше нуля, по теореме 1 имеем единственное оптимальное решение , для которого , и .
Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 56; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |