Общее уравнение прямой на плоскости

Прямая на плоскости. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой и его исследование

Определение 29.1: Под прямой линией будем понимать геометрическое место точек l такое, что для любых двух точек Mи M из данного множества вектор коллинеарен заданному ненулевому вектору .

Или .

Получим уравнение прямой линии на плоскости (то есть получим такое уравнение, которому должны удовлетворять координаты всех точек на прямой линии l и наоборот, если координаты некоторой точки удовлетворяют составленному уравнению, то эта точка лежит на прямой l).

Пустьи (29.1)

Рассмотрим следующие случаи:

1. = 0. Тогда оси ординат OY, и первая координата x-xпропорциональна нулю, т.е. (в этом случае) (29.2)
2. = 0. Тогда оси абсцисс OX, и вторая координата пропорциональна нулю, то есть (в этом случае ) (29.3)
3. Так как , то или (29.4)

Раскрывая скобки и перенося все слагаемые в уравнении (29.4) в левую часть, получим.Положив и , из последнего уравнения имеем (при этом (см.(29.1)).

(29.5)

и (29.6)

Отметим, что уравнения (29.2) (при A=1, B=0, C =) и (29.3) (тогда A=0, B=1, C=) является частичными случаями уравнения (29.5) с условием (29.6). Итак, мы показали, что если точка M принадлежит некоторой прямой l, то её координаты удовлетворяют некоторому уравнению (29.5) с условием (29.6) на коэффициенты A и B.

Покажем обратное, то есть если координаты всех точек M удовлетворяющих некоторому уравнению (29.5) с условием (29.6), то эти точки лежат на некоторой прямой l (удовлетворяющей определению 29.1).

ЗАДАЧА. Доказать, что если векторы и ортогональны некоторому вектору , то и коллинеарные.

Для её решения заметим, что координаты векторов и должны удовлетворять уравнению Ax+By=0, которое (см §17,18,19) является линейным пространством размерности 1 и, следовательно, всякие два решения этого уравнения линейно зависимы. Далее - §16.

Заметим, что уравнение (29.5) имеет решения(например, если (см.(29.6)), то координаты точекудовлетворяют уравнению (29.5).

Пусть и M(x,y) – любые решения уравнения (29.5), то есть:

(29.5)

и (29.7)

Вычитая из уравнения (29.5) уравнение (29.7), получим

(29.8)

Это означает, что вектор ортогонален вектору (см.(29.6)). Но и вектор также ортогонален вектору , потому что и скалярное произведение (см. §24). Поэтому то есть точки и М находятся на некоторой прямой линии l. Таким образом, уравнение (29.5) с условием (29.6) задает некоторую прямую линию l на плоскости и наоборот, всякую линию l на плоскости можно описать некоторым уравнением (29.5) с условием (29.6).

Определение 29.2: Уравнение (29.5) с условием (29.6) называется общим уравнением прямой линии на плоскости.

Определение 29.3: А вектор называется нормальным вектором (или нормалью) к прямой l, заданной уравнением (29.5).

Как уже было показано, вектор, то есть

Дата добавления: 2014-01-04