Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Спектральное разложение функции f(A)





Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.

Пусть дана матрица и пусть , .

Теорема. Если , а функция f(x) определена на спектре матрицы А и - значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1) , при чем коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве

Доказательство:заметим, что и , где - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами.

ЧТД.

 

Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.

 

Теорема. Компонентные матрицы обладают следующими свойствами:

1.

2.

3.

4. .

Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.

 

Пример: Найти компоненты для матрицы .

.

Пусть f(x) определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме .

1. f(x)=1

E=1Z11+0Z12+1Z21=Z11+Z21

2. f(x)=x-4

A-4E=0Z11+1Z12+(-2)Z21=Z12-2Z21

3. f(x)=(x-4)2

(A-4E)2=4Z21

.

Таким образом, для любой функции f(x), определенное на спектре матрицы А

.

Пример 2.

Найти компоненты для матрицы

.

Найдем минимальный многочлен матрицы А.

1. f(x)=1

E=Z11+Z21+Z31

2. f(x)=x+1

(A+E)=2Z21+Z31+Z12

3. f(x)=(x+1)2

(A+E)2=4Z21+Z31

4. f(x)=x-1

A-E=-2Z11+Z12-Z31

1. f(x)=1 E=Z11+Z21+Z31

2. f(x)=x+1 A+E=Z11Z22+2Z31

3. f(x)=(x+1)2 (A+E)2=Z11+4Z31

4. f(x)=x-1 (A-E)=-Z11-2Z21+Z22

Z31=A

-Z22=(A+E)2-E-3A

Z12=Z22

Z11=(E-A)-Z22





Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 197; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.