Спектральное разложение функции f(A)

Спектральное разложение для f(A) имеет важное значение и очевидно тесно примыкает к спектральной теореме для простых матриц.

Пусть дана матрица и пусть , .

Теорема. Если , а функция f(x) определена на спектре матрицы А и - значение j-й производной от f(x) в собственном значении , где , , то существуют такие независимые от f(x) матрицы , что (1) , при чем коммутирует с матрицей А и образуют линейно независимую систему в пространстве

Доказательство: заметим, что и , где - базисные многочлены, принимающие одинаковые значения на спектре матрицы А, (3). Сравнивая (1) и (2) и учитывая (3) получим, что . Матрицы называются компонентами матрицы А или компонентными матрицами.

ЧТД.

Опишем следующие свойств компонентных матриц, которые в некоторой степени обобщают свойства сопровождающих матриц.

Теорема. Компонентные матрицы обладают следующими свойствами:

1.

2.

3.

4. .

Замечание. Для того, чтобы найти компонентные матрицы для f(x) определенной на спектре матрицы А необходимо и достаточно знать базисные многочлены, входящие в интерполяционный многочлен, однако нахождение интерполяционного многочлена f(x) связано с некоторыми трудностями, а поэтому будем вычислять компонентные матрицы подбирая соответствующим образом системы функций.

Пример: Найти компоненты для матрицы .

.

Пусть f(x) определена на спектре А, тогда согласно спектральной теореме .

1. f(x)=1

E=1Z₁₁+0Z₁₂+1Z₂₁=Z₁₁+Z₂₁

2. f(x)=x-4

A-4E=0Z₁₁+1Z₁₂₊(-2₎Z₂₁=Z₁₂-2Z₂₁

3. f(x)=(x-4)²

(A-4E)²=4Z₂₁

.

Таким образом, для любой функции f(x), определенное на спектре матрицы А

.

Пример 2.

Найти компоненты для матрицы

.

Найдем минимальный многочлен матрицы А.

1. f(x)=1

E=Z₁₁+Z₂₁+Z₃₁

2. f(x)=x+1

(A+E)=2Z₂₁+Z₃₁+Z₁₂

3. f(x)=(x+1)²

(A+E)²=4Z₂₁+Z₃₁

4. f(x)=x-1

A-E=-2Z₁₁+Z₁₂-Z₃₁

1. f(x)=1 E=Z₁₁+Z₂₁+Z₃₁

2. f(x)=x+1 A+E=Z₁₁Z₂₂+2Z₃₁

3. f(x)=(x+1)² (A+E)²=Z₁₁+4Z₃₁

4. f(x)=x-1 (A-E)=-Z₁₁-2Z₂₁+Z₂₂

Z₃₁=A

-Z₂₂=(A+E)²-E-3A

Z₁₂=Z₂₂

Z₁₁=(E-A)-Z₂₂

Дата добавления: 2014-01-04