Неотрицательные матрицы

DF. Матрица называется неотрицательной, если каждый ее элемент положителен.

Квадратные матрицы такого типа возникают во множестве задач и это определяющее свойство приводит к сильным результатам об их строении. Теорема Фробениуса-Перона является основным результатом для неотрицательных матриц.

Пусть матрицы . Будем говорить, что , если б в частности A>B, если .

Вспомним матрицу перестановки , т.е. матрицы перестановки обязательно ортогональны. Произведение приводит к перестановке столбцов матрицы А.

DF. При матрица называется приводимой матрицей, если существует такая матрица перестановки Р, что совподает с матрицей , где А₁₁, А₁₂, А₂₂ – квадратные матрицы меньшего чем n порядка. Если матрица Р не существует, то матрица А называется неприводимой.

Понятие приводимости имеет значение при решении матричных уравнений , ибо если Ф – приводима, то осуществив замену переменных, которую подсказывают равенства , получаем

, где , .

и решаем матричное уравнение с матрицей более низкого порядка. Затем, и решаем матричное уравнение. Таким образом, если А – приводима, то решение уравнения высокого порядка сводится к решению уравнений более низкого порядка, при чем собственные значения матриц А₁₁ и А₂₂ в своей совокупности составляет множество значений матрицы А.

Интересно, что явление приводимости не связано с величиной матрицы, а зависит лишь от расположения нулевых элементов в матрице.

В связи с этим, используют идею направленного графа матрицы, которую можно взять в качестве характеризации неприводимости матрицы. Наметим первые шаги тоерии и получим вторую характеризацию неприводимости матриц.

DF. Пусть р₁, р₂, …, р_n – n различных точек комплексной плоскости и . Для каждого нулевого элемента матрицы А составим направленную линию от р_i к р_j . Получающаяся в результате фигура на комплексной плоскости называется направленным графом матрицы.

Например:

DF. Говорят, что любой направленный граф связен, если для каждой пары точек существует направленный путь .

Легко доказать, что квадратная матрица неприводима тогда и только тогда, когда ее граф является связным.

Дата добавления: 2014-01-04