Эрмитовы и квадратичные матрицы

Определенные матрицы.

Пусть А – эрмитова матрица (А^*=А).

Рассмотрим функцию h(x) – действительная функция комплексного аргумента.

Рассмотрим:

DF. Функция , где А – эрмитова матрица, называется эрмитовой формой от n переменных x₁, …, x_n, где А – матрица эрмитовой формы.

Очевидно, что если А – действительная симметрическая матрица, то в этом случае получаем квадратичную форму .

Для каждой эрмитовой (квадратичной) формы инвариантами являются: ранг (число не нулевых коэффициентов в квадратичной форме нормального вида совпадающих с рангом матрицы А), p (индекс) – число положительных коэффициентов в квадратичной форме нормального вида, оно совпадает с числом положительных собственных значений, сигнатура. Эти числа r, p, гр-r не зависят от тех преобразований, которые совершаются над данными формами.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только квадратичных форм. Нас интересуют 2 семейства матриц.

DF. Действительная симметрическая матрица А называется положительно определенной, если для .

DF. Действительная симметрическая матрица А называется неотрицательно определенной, если для .

Оба типа матриц относятся к классу определенных матриц. Заметим, что положительно определенная матрица невырожденная, т.е. если предположить, что она вырожденная, то , , что противоречит условию.

Теорема № 1. Действительная симметрическая матрица n-го порядка будет определенной ранга тогда и только тогда, когда она имеет r положительных собственных значений, а остальные (n-r) – собственные значения равны 0.

Теорема № 2. Действительная симметрическая матрица положительна определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Теорема № 3. Действительная симметрическая матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Дата добавления: 2014-01-04