Производные и дифференциалы высшего порядка Теорема о смешанных производных

1°. Частные производные высшего порядка определяются по индукции. Например, , а “смешанная” производная определяется равенством .

Часто оказывается, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. Например, или, в более компактной записи, . Всегда ли это так? Оказывается, − нет. Так, если , то , а (задача 8.86, в сб. [3]). Следующая теорема показывает, что при некоторых дополнительных условиях смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.

Теорема о смешанных производных. Если обе производные существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке, то их значения в этой точке совпадают.

Доказательство. Рассмотрим вторую смешанную разность функции

.

Обозначим и . Тогда можно будет записать и . С другой стороны,

и .

Дважды применяя теорему Лагранжа, получим

,

где . Ввиду непрерывности в точке видим, что Точно так же

,

где . Поэтому

Приравняем эти два выражения . После сокращения , видим, что

.

Устремляя к нулю, получаем окончательно . Ч. и т.д.

Следствие. Если все частные производные порядка функции Rⁿ®R непрерывны в области , то смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования.

Отметим, что матрица называется матрицей Гессе (O.Hesse, 1811-1874).

2°. Полные дифференциалы старшего порядка также определяются по индукции.

Пусть сначала функция принадлежит классу . Введем для сокращения записи векторы и "=. Первый дифференциал можно будет короче записать в виде или еще так: , где .

Вычислим теперь второй дифференциал функции

, т. е.

.

В краткой записи: , или еще .

Упражнение. ПустьRⁿ®R − функция класса . Доказать с помощью математической индукции, что

=.

Здесь , "=, , .

Дата добавления: 2013-12-13