Условный экстремум

Определение.Функция Rn®R имеет максимумв точке, если для всех из некоторой окрестности этой точки выполнено неравенство. Если неравенство строгое, то и максимум называется строгим. В случае неравенства говорят о точке минимума. И снова, если неравенство строгое, то − точка строгого минимума. Наконец, понятия максимума и минимума объединяет название экстремум.

Точки экстремума функций нескольких переменных.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)В точке экстремума функции каждая из её частных производных первого порядка равна нулю, либо не существует.

Доказательство. Пусть, например, − точка максимума функции . В таком случае функция переменной также имеет максимум , следовательно, производная равна нулю или не существует. Это же относится и к другим частным производным первого порядка.

Замечание. Указанное необходимое условие экстремума не является достаточным. Это видно из простейших контрпримеров. Например, если , то . Поэтому . В то же время, в любой окрестности точки значение не является ни наибольшим, ни наименьшим. Действительно, , . (Это − так называемая седловая точка).

Теорема 2. (Достаточное условие наличия или отсутствия экстремума).

Пусть о функции Rⁿ®R класса вблизи известно, что ". В таком случае,

1) если − положительно определенная квадратичная форма, т.е. , то ₋ точка минимума ;

2) если − отрицательно определенная квадратичная форма, т.е. , то ₋ точка максимума ;

3) если − знакопеременная квадратичная форма, т.е. меняет знак, то в точке у данной функции нет экстремума;

4) если − полуопределённая квадратичная форма, т.е. (либо ), причем не только , то для получения ответа требуются дополнительные исследования (случай неопределённости).

Доказательство. Как мы знаем, , где

. Так как по условию ", то и

, где .

1) По теореме Вейерштрасса функция принимает на сфере своё наименьшее значение в некоторой точке . Так как − положительно определенная форма и , то , поэтому . С другой стороны, при достаточно малых значениях будет выполняться неравенство . Отсюда следует, что в окрестности точки будем иметь

.

А это значит, что − точка минимума функции .

2) Для доказательства достаточно изменить знак .

3) В этом случае существуют единичные векторы и число , для которых и , Так как при достаточно малых значениях будет выполняться неравенство , то получим

и
при малых положительных значениях . Мы видим, что в точке нет экстремума.

4) В этом случае, как показывают примеры, функция может иметь экстремум, а может и не иметь экстремума. (Рассмотреть функции , вблизи начала координат).

Для выяснения является ли квадратичная форма , где , положительно (отрицательно) определенной, можно использовать следующую теорему.

Критерий Сильвестра. Рассмотрим квадратичную форму с матрицей коэффициентов A=, . Обозначим главные угловые миноры матрицы A. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы знаки этих миноров были +, +, +, +,…,+; для ее отрицательной определенности необходимои достаточно, чтобы эти знаки были −, +, −, +,….

Частный случай: Пусть R²®R.

Обозначим , , и .

Если , то экстремум есть, именно:

Если , то в точке нет ни максимума, ни минимума.

Если , то требуется дополнительное исследование.

Пример. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. , ;

, , .

1) Используем необходимое условие экстремума для нахождения критических точек:

.

2) Применяем достаточные условия наличия или отсутствия экстремума. Результаты оформляем в виде таблицы.

		(0,0)	(0, ±1)	(±1,0)	(±1,±1)	Результат.
	A	-4	-4			Точки максимума: (0, ±1); zmax=1. Точки минимума: (±1, 0); zmin=−1.
	B
	C		-8		-8
	D	-16			-64
		нет	Макс.	Мин.	нет

Дата добавления: 2013-12-13