Неявные функции и их производные

.

Производная композиции (производная сложной функции).

Рассмотрим отображения , и их композицию , т.е. . Эту ситуацию можно увидеть на следующей схеме:

.

Теорема. Если отображение дифференцируемо в точке , а дифференцируемо в точке , то их композиция дифференцируема в точке . При этом , т.е. производная композиции равна композиции производных отображений.

Доказательство. При условиях теоремы будет

и

.

Поэтому получим . Ч и т.д.

Краткая формулировка теоремы: матрица композиции равна произведению матриц

Сравните со случаем функций одной переменной.

Пример 1. Пусть , где , и . Здесь . В матричном виде получаем

,

или в подробной записи: .

Упражнение. Дать новый вывод формулы

.

Рассмотрим вопрос о существовании “неявной функции”. В простейшем случае − это вопрос о существовании функции , являющейся решением уравнения и удовлетворяющей начальному условию . Начнём с функции . Ясно, что в этом случае, если 1) , 2) , то , при этом . Возвращаясь к уравнению и рассуждая не строго, получаем:

,
откуда следует равенство .

Перейдём теперь к аккуратному изложению.

Теорема. Предположим, что функция удовлетворяет следующим трём условиям:

1) ;

2) и непрерывны в окрестности точки ;

3) .

В таком случае существуют положительные числа и функция , для которой в прямоугольнике условия и равносильны. На отрезке функция непрерывно дифференцируема, а её производная равна .

Дата добавления: 2013-12-13