Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Доказательство. 1. Выбираем прямоугольную окрестность такую, что в производные и непреры





Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

1. Выбираем прямоугольную окрестность такую, что в производные и непрерывны, сохраняет знак (например “+”) и сохраняет знаки (противоположные) на основаниях этого прямоугольника.

2.Из пункта 1. вытекает, что существует единственная функция такая, что в прямоугольнике условия и равносильны.

3.Докажем непрерывность функции , то есть докажем, что для любого значения будет . Предположим противное. Но тогда существовала бы последовательность чисел , для которой . Из непрерывности следует , а это противоречит тому, что единственное решение уравнения в прямоугольнике есть .

4.Докажем теперь существование производной и выведем для нее формулу. Пусть и . Тогда будет

, где .

Отсюда следует, что

, ,

так как из-за доказанной в пункте 3 непрерывности . Таким образом, .

5.Наконец, функция непрерывна на отрезке ввиду непрерывности функций в рассматриваемой области и того, что там. Теорема полностью доказана.

Обобщение*.Пусть и , то есть и пусть выполнены условия:

1.;

2.в окрестности точки непрерывны все частные производные ;

3.определитель матрицы отличен от нуля.

В таком случае в некоторой “прямоугольной” окрестности начальной точки уравнение (точнее, система уравнений) однозначно разрешима в виде , Здесь − непрерывно дифференцируемое отображение, причем .

Теорема об обратном отображении*.Пусть − непрерывно дифференцируемое отображение в окрестности точки и производное отображение представляет собой обратимый оператор. В таком случае в окрестности точки существует обратное отображение . Отображение также непрерывно дифференцируемо и при этом , где .

Эта теорема выводится из предыдущей теоремы о, Для этого достаточно применить теорему о неявной функции к уравнению , где .

Пример.Найти , если функция заданна неявным уравнением , а − точка с координатами .

Решение.Так как уравнение можно переписать в виде , где . − функция класса во всей плоскости. Причем, . По теореме этого параграфа

; .

; .

Проще:

.


 





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 421; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.021 сек.