Доказательство. 1. Выбираем прямоугольную окрестность такую, что в производные и непреры

1. Выбираем прямоугольную окрестность такую, что в производные и непрерывны, сохраняет знак (например “+”) и сохраняет знаки (противоположные) на основаниях этого прямоугольника.

2. Из пункта 1. вытекает, что существует единственная функция такая, что в прямоугольнике условия и равносильны.

3. Докажем непрерывность функции , то есть докажем, что для любого значения будет . Предположим противное. Но тогда существовала бы последовательность чисел , для которой . Из непрерывности следует , а это противоречит тому, что единственное решение уравнения в прямоугольнике есть .

4. Докажем теперь существование производной и выведем для нее формулу. Пусть и . Тогда будет

, где .

Отсюда следует, что

, ,

так как из-за доказанной в пункте 3 непрерывности . Таким образом, .

5. Наконец, функция непрерывна на отрезке ввиду непрерывности функций в рассматриваемой области и того, что там. Теорема полностью доказана.

Обобщение*. Пусть и , то есть и пусть выполнены условия:

1. ;

2. в окрестности точки непрерывны все частные производные ;

3. определитель матрицы отличен от нуля.

В таком случае в некоторой “прямоугольной” окрестности начальной точки уравнение (точнее, система уравнений) однозначно разрешима в виде , Здесь − непрерывно дифференцируемое отображение, причем .

Теорема об обратном отображении*. Пусть − непрерывно дифференцируемое отображение в окрестности точки и производное отображение представляет собой обратимый оператор. В таком случае в окрестности точки существует обратное отображение . Отображение также непрерывно дифференцируемо и при этом , где .

Эта теорема выводится из предыдущей теоремы о, Для этого достаточно применить теорему о неявной функции к уравнению , где .

Пример. Найти , если функция заданна неявным уравнением , а − точка с координатами .

Решение. Так как уравнение можно переписать в виде , где . − функция класса во всей плоскости. Причем, . По теореме этого параграфа

; .

; .

Проще:

.

Дата добавления: 2013-12-13