Свойства градиента. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пример 1.Пусть.Тогда.

Определение 3. Градиентом функции в точке называется вектор , имеющий в стандартном базисе координаты . Более краткое обозначение градиента (значок читается “ набла ”).

Определение 4. Пусть . Матрицей Якóби этого отображения в точке называется матрица , состоящая из производных от каждой компоненты по каждой координате. Производная по вектору определяется так же, как и раньше.

Определение 5. Отображение называется дифференцируемым в точке , если его полное приращение может быть представлено в виде

, где − линейный оператор, то есть отображение, обладающее свойством линейности: . Оператор действует из пространства в пространство . Он называется производным отображением и обозначается . Выражение или называется дифференциалом и обозначается . Очевидно, что из дифференцируемости следует непрерывность.

Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости). Если отображение дифференцируемо в точке , то в этой точке существуют все частные производные и даже производные по любому вектору . При этом . Однако, в отличие от случая функций одной переменной, из существования производной по любому вектору не следует дифференцируемость отображения.

Доказательство. Пусть . Тогда

.

Поэтому . Отсутствие обратной импликации видно, например, из следующего контрпримера.

Контрпример. Пусть . У этой функции существует производная в точке по любому вектору и эта производная равна . Если бы функция была дифференцируемой в точке , выражение линейно зависело бы от вектора . То есть было бы . Однако, не всегда . Так, например, или .

Следствие. Если отображение дифференцируемо в точке , то в этой точке существуют все частные производные , а матрицей линейного
оператора в стандартном базисе является матрица Якоби.

Доказательство*. Обозначим матричные элементы в базисе . Тогда будет .

Теорема 2. (Достаточное условие дифференцируемости). Если все частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в самой точке, то отображение дифференцируемо в этой точке.

Доказательство. Достаточно при указанных условиях доказать дифференцируемость скалярной функции, то есть одной компоненты отображения . Метод доказательства проще понять в случае . Мы имеем

, где число заключено между числами , а заключено между числами (теорема Лагранжа).

Если стремятся к нулю, то также стремятся к нулю. Воспользовавшись непрерывностью производных и в точке , получим . Ч и т.д.

1^о. Рассмотрим скалярное поле, то есть функцию . Если функция f дифференцируема в точке , то, как мы уже знаем, . В нашем случае это означает, что

или .

Так как направляющие косинусы вектора равны , то вектор единичной длины равен . Мы получаем формулу для вычисления производной по направлению:

.

Неравенство Коши показывает, что . Равенство здесь возможно лишь, если векторы и коллинеарны. Таким образом, производная по направлению принимает наибольшее значение, если коллинеарен вектору . Равно это наибольшее значение . Отсюда следует, что градиенту можно дать новое (бескоординатное) определение.

Определение. Градиент функции в точке − это вектор, длина которого равна наибольшей из производных по всевозможным направлениям в точке . Направление градиента совпадает с направлением наиболее быстрого возрастания функции в этой точке.

Мы видим, что градиент скалярного поля (функции) не зависит от выбора координат, а определяется самим полем.

Отметим, что по направлению “минус градиента” функция быстрее всего убывает, а по направлениям, перпендикулярным к градиенту, функция имеет нулевую скорость изменения, так как, если , то .

2^о. Рассмотрим поверхность , заданную неявным уравнением , где дифференцируема в точке , лежащей на этой поверхности, причем градиент отличен от нуля в этой точке (такая точка называется регулярной). Все прямые, проходящие через эту точку и перпендикулярные вектору , лежат в одной плоскости, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке . Уравнение касательной плоскости имеет вид

.

Приведём ещё канонические уравнения нормали (т.е. прямой , которая перпендикулярна плоскости и также проходит через точку ):

.

Пусть уравнение поверхности приведено к явному виду , где функция дифференцируема в точке . Если принять , то мы снова вернёмся к уравнению . Сейчас , поэтому уравнение касательной плоскости примет вид

,

где (сравните с уравнением касательной к графику ).

Ясно, что , когда . Таким образом, касательная плоскость в окрестности точки прилегает к поверхности теснее, чем любая другая плоскость.

Уравнения нормали сейчас приобретают вид

.

Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к эллипсоиду в точке .

Решение. Прежде всего, т. принадлежит данной поверхности, т.к. .

1-й способ. Т.к. , то , . Можно считать, что нормальный вектор касательной плоскости равен .
Поэтому получаем уравнения и .

2-й способ: . Следовательно, , , . Поэтому уравнение касательной плоскости имеет вид: или , а канонические уравнения нормали: .

Упражнение. Доказать, что уравнение касательной плоскости к эллипсоиду с уравнением в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид .

Дата добавления: 2013-12-13