Формула Тейлора

Теорема. Если у функции f: Rⁿ®R непрерывны все частные производные порядка в окрестности точки , тобудет справедливо равенство

.

Доказательство. Введем в рассмотрение функцию одной переменной , где − орт вектора , то есть , а . Ясно, что производная непрерывна в окрестности точки . В таком случае формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при малых значениях приводит к разложению

,

где . Здесь − константа, связанная с оценкой производных в окрестности точки .

Вспоминая результат, сформулированный в виде упражнения в конце предыдущей лекции, мы видим, что последнее разложение приводит к равенству

.

Доказательство закончено.

Замечание. Теорема остаётся справедливой и для отображений типа Rⁿ®R^m.

Пример. Если R²®R − функция класса в окрестности точки , то

.

Дата добавления: 2013-12-13