Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Решение. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области

Читайте также:
  1. РЕШЕНИЕ.
  2. Решение.
  3. Решение.
  4. Решение.
  5. Решение.
  6. Решение.
  7. Решение.
  8. Решение.
  9. Решение.
  10. Решение.
  11. Решение.
  12. Решение.



Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области.

Напомним. Для отыскания наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке мы добавляли к критическим точкам функции, лежащим внутри отрезка, его граничные точки. Затем сравнивали значения функции во всех указанных точках и отбирали наибольшее (наименьшее) из них.

В многомерном случае мы будем действовать по той же схеме. Только в этом случае граница области не сводится к двум концевым точкам. Найдя критические точки функции, лежащие внутри области, необходимо искать точки, подозрительные по условному экстремуму вдоль частей границы. У плоской области обычно части границы − это дуги границы и концы этих дуг. В случае мерной области приходится иметь дело с -мерными, -мерными,...,1-мерными (дугами), наконец 0-мерными (точками) частями границы.

Пример 1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции

в замкнутой области .

I. Критические точки функции в треугольнике .

, .

II. Отыскание критических точек функции вдоль отрезков границы.

1) . Обозначим . Критическая точка функции вдоль этой стороны − .

2) . Обозначим . Критическая точка функции вдоль этой стороны − .

3) , . В предыдущей лекции мы нашли, что точка условного экстремума − .

III. Вершины треугольника:, , .

IV. Отобранные точки: , , , , , , .

V. , .

Пример 2.Пусть − среднее геометрическое положительных чисел и − их среднее арифметическое. Доказать, что всегда справедливо неравенство .

Доказательство.Для доказательства требуемого неравенства можно свести её к следующей задаченайти наибольшее значение произведения положительных чисел при условии, что . Так как

выписанные условия определяют замкнутое ограниченное множество в пространстве Rn, то по теореме Вейерштрасса функция принимает в некоторых точках множества свое наибольшее и наименьшее значения. Всюду на границе обращается в нуль. Поэтому своего наибольшего значение достигает во внутренних точках . Для их отыскания применим метод неопределенных множителей Лагранжа.

Составляем функцию Лагранжа

и приходим к системе уравнений

.

Поэтому или . Извлекая корень степени из обеих частей полученного неравенства, получаем . Ч и т.д.

Замечание.Применяя метод множителей, мы воспользовались только необходимыми условиями экстремума. Достаточные условия нам удалось обойти, сославшись на теорему Вейерштрасса о максимуме.

 





Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 185; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.167.253.186
Генерация страницы за: 0.008 сек.