Критерий Коши.Последовательность сходится тогда и только тогда, когда выполнено условие Коши,состоящее в том, что

2⁰. Пусть , то есть − отображение . Мы скажем, что это отображение непрерывно в точке , если при условии .

Упражнение. Пусть . Доказать, что непрерывно в точке тогда и только тогда, когда непрерывны все компоненты отображения .

Теорема Вейерштрасса о максимуме. Если функция непрерывна в каждой точке ограниченного замкнутого множества , то достигает своего наибольшего (наименьшего) значения в некоторой точке этого множества.

Теорема Коши о промежуточном значении. Если функция непрерывна в каждой точке связного множества , то не пропускает промежуточных значений.

3^o. Рассмотрим скалярную функцию , то есть отображение типа . Некоторое представление об изменении дают поверхности уровня (линии уровня ). Это − множества с уравнением . В разных прикладных дисциплинах они носят разные названия: изотермы, изобары, горизонтали (в топографии).

Пример. Пусть . Сравним трехмерный график этой функции с плоским рисунком, изображающим её линии уровня.

Более подробный анализ поведения функции, как и в случае функций одного переменного, даёт дифференциальное исчисление.

Дата добавления: 2013-12-13