Сверхплотный ферми-газ и гравитационное равновесие звезд

Эволюция звезд. Белые карлики. Фаулер. Принципиальный интерес представляет исследование свойств вещества при чрезвычайно больших плотностях. Проследим качественно за изменением этих свойств по мере постепенного увеличения плотности.

Когда объем, приходящийся на один атом, становится меньше обычных атомных размеров, атомы теряют свою индивидуаль­ность, так что вещество превращается в сильно сжатую элек­тронно-ядерную плазму. Если температура вещества не слиш­ком высока, то электронная компонента этой плазмы предста­вляет собой вырожденный ферми-газ. Электронный ферми-газ обладает своеобразным свойством: его идеальность воз­растает по мере увеличения плотности. Это происходит потому, что кинетическая энергия электронов пропорциональна концентрации в степени 2/3, а кулоновская энергия – лишь 1/3. Поэтому при достаточ­ном сжатии вещества роль взаимодействия электронов с ядрами (и друг с другом) становится несущественной, так что мож­но пользоваться формулами идеального ферми-газа. Можно показать, что это наступает при выполнении неравенства

где п_е - плотность числа электронов, т_е - масса электрона, Z- некоторый средний атомный номер вещества. Отсюда по­лучаем для полной плотности массы вещества неравенство

г/см³,

где m’ - масса, приходящаяся на один электрон. Примем, что эта масса равна удвоенной массе нуклона. Что касается «ядерного газа», то благодаря боль­шой массе ядра он еще может быть далек от вырождения, но его вклад, например, в давление вещества совершенно несуществен по сравнению с давлением электронного газа.

Таким образом, термодинамические величины вещества в рассматриваемых условиях определяются формулами, примененными к электронной компоненте. В част­ности, для давления имеем

Условие для плотности дает для давления численное неравенство атм.

В написанных формулах электронный газ предполагается нерелятивистским. Это требует малости граничного импульса Ферми ρ_F по сравнению с тс, что приводит к числен­ным неравенствам

Когда плотность и давление газа становятся сравнимыми с ука­занными значениями, электронный газ делается релятивист­ским, а при выполнении обратных неравенств - ультрареляти­вистским. В последнем случае уравнение состояния вещества определяется формулой

Дальнейшее повышение плотности приводит к состояниям, в которых термодинамически выгодными оказываются ядерные реакции, заключающиеся в захвате электронов ядрами (с од­новременным испусканием нейтрино). В результате такой реакции уменьшается заряд ядра.

При еще больших плотностях и давлениях будет происхо­дить дальнейший захват электронов ядрами, сопровождающий­ся дальнейшим уменьшением заряда последних. Здесь начинается область плотностей, в которой вещество можно рас­сматривать в основном как вырожденный нейтронный ферми-газ с небольшой примесью электронов и различных ядер, концентрации которых определяются условиями равновесия соот­ветствующих ядерных реакций. Уравнение состояния вещества в этой области есть

атм,

где m_n – масса нейтрона.

Наконец, при плотностях г/см³ вырожденный нейтронный газ станет ультрарелятивистским, а уравнение со­стояния будет определяться формулой

атм.

Рассмотрим тело очень большой массы, части которого удерживаются вместе силами гравитационного притяжения. Реальные тела большой массы известны нам в виде звезд, непрерывно излучающих энергию и отнюдь не находящихся в состоянии теплового равновесия. Представляет, однако, принципиальный интерес рассмотрение равновесного тела большой массы. При этом мы будем пренебрегать влиянием температуры на урав­нение состояния, т.е. будем рассматривать тело находящимся при абсолютном нуле («холодное» тело). Это можно сделать потому, что для сильно вырожденного ферми-газа температуру можно считать равной нулю.

Будем далее предполагать тело невращающимся; тогда в равновесии оно будет иметь сферическую форму, и распределе­ние плотности в нем будет центрально-симметричным.

Равновесное распределение плотности (и других термодина­мических величин) в теле будет определяться следующими урав­нениями. Ньютоновский гравитационный потенциал φ удовлетворяет дифференциальному уравнению

где ρ – плотность вещества, G – ньютоновская гравитационная постоянная; в центрально-симметричном случае имеем

В гравитационном поле потенциальная энергия части­цы с массой т' есть т' φ, так что имеем

где т' - масса частицы тела, а у химического потенциала ве­щества в отсутствие поля для краткости опущен индекс нуль. Выразив φ через µ и подставив в уравнение для потенциала, мы можем написать последнее в виде

При увеличении массы гравитирующего тела возрастает, естественно, и его средняя плотность (это обстоятельство бу­дет подтверждено следующими ниже вычислениями). Поэтому при достаточно большой полной массе М тела можно рассматривать веще­ство тела как вырожденный электронный ферми-газ - сначала нерелятивистский, а затем, при еще больших массах, реляти­вистский.

Химический потенциал (энергия Ферми) нерелятивистского вырожденного электронного газа связан с плотностью тела ρ равенством

.

Выразив отсюда ρ через µ, получим сле­дующее уравнение:

(*)

Обладающие физическим смыслом решения этого уравнения не должны иметь особенности в начале координат: µ —> const при r —> 0. Это требование автоматически приводит к условию для первой производной

при r = 0.

Ряд существенных результатов можно получить уже путем применения к уравнению (*) простых соображений размер­ности. Решения уравнения (*) содержат лишь два постоян­ных параметра - постоянную λ и, например, радиус тела R, заданием которого однозначно определяется выбор решения. Из этих двух величин можно образовать всего одну величину с размерностью длины - самый радиус R, и одну величину с раз­мерностью энергии: (постоянная λ имеет размерность м^-2 • Дж^-1/2). Поэтому ясно, что функция µ(r) должна иметь вид

где f - некоторая функция только от безразмерного отношения r/R. Поскольку плотность ρ пропорциональна µ^3/2, то распределение плотности должно иметь вид

.

Таким образом, при изменении размеров сферы распреде­ление плотности в ней меняется подобным образом, причем в подобных точках плотность меняется обратно пропорциональ­но R⁶. В частности, средняя плотность сферы будет просто обратно пропорциональна R⁶:

.

Полная же масса М тела, следовательно, обратно пропорциональна кубу радиуса:

Эти два соотношения можно написать также в виде

Таким образом, размеры равновесной сферы обратно пропор­циональны кубическому корню из ее полной массы, а средняя плотность пропорциональна квадрату массы. Последнее обстоя­тельство подтверждает сделанное выше предположение о том, что плотность гравитирующего тела растет с увеличением его массы.

Тот факт, что гравитирующая сфера из нерелятивистского вырожденного ферми-газа может находиться в равновесии при любом значении полной массы М, можно было усмотреть зара­нее из следующих качественных соображений. Полная кинети­ческая энергия частиц такого газа пропорциональна N(N/V)^2/3, или, что то же самое, М ^5/3 / R ², а гравитационная энергия газа в целом отрицательна и пропорциональна M²/R.Сумма двух выражений такого типа может иметь минимум (как функ­ция от R) при любом М, причем в точке минимума.

.

Для безразмерной переменной ξ = r / R получим, что функция f (ξ) удовлетворяет уравнению

с граничными условиями f ‘(0) = 0; f ‘(1) = 0. Это уравнение не может быть решено в аналитическом виде и должно интегриро­ваться численно (см, рис). Наконец, для отношения центральной плотности ρ (0) к средней плотности легко найти

На рисункеизображен график отношения ρ (r)/ ρ (0) как функции r/R.

Перейдем к исследованию равновесия сферы, состоящей из вырожденного ультрарелятивистского электронного газа. Полная кинетическая энергия частиц такого газа пропорциональна N(N/V)^1/3, или иначе M ^4/3 / R; гравитационная же энергия пропорциональна -M²/R.Таким образом, обе эти величины зависят от R одинаковым образом, и их сумма тоже будет иметь вид const • R ^-1. Отсюда следует, что тело вообще не сможет находиться в равновесии: если const > 0,то оно будет стремиться расширяться (до тех пор, пока газ не станет нереляти­вистским); если же const < 0,то уменьшению полной энергии будет соответствовать стремление R кну­лю, т.е. тело будет неограничен­но сжиматься. Лишь вособом слу­чае const = 0тело может находить­ся в равновесии, причем вбезраз­личном равновесии с произвольны­ми размерами R.

Эти качественные соображения, разумеется, полностью подтвер­ждаются точным количественным анализом. Химический потенциал рассматриваемого реляти­вистского газа связан с плотностью соотношением

Вместо уравнения (*) получаем теперь

Имея в виду, что λ обладает теперь размерностью Дж^-2 • м^-2, находим, что химический потенциал как функция от r должен иметь вид

а распределение плотности

Таким образом, средняя плотность будет теперь обратно про­порциональна R ³, а полная масса оказывается не зави­сящей от размеров постоянной:

M ₀ есть единственное значение массы, при котором возможно равновесие; при М > М ₀ тело будет стремиться неограниченно сжиматься, а при М < М₀оно будет расширяться.

Для точного вычисления «критической массы» М₀ необходи­мо произвести численное интегрирование уравнения

.

Положив m’ = 2 m _n, получим M ₀ = 1,45.

На рисунке (кривая 2) дан график ρ (r)/ ρ (0) в ультрарелятивистском случае как функции r/R.

Полученные результаты о зависимости между массойи ра­диусом равновесного «холодного» сферического тела можно представить во всей области измерения Rв виде единой кривой, определяющей зависимость М = M(R).При больших R(и соответственно малых плотностях тела) электронный газ можно рассматривать как нерелятивистский, и функция M(R)спадает по закону. При достаточно же малых Rплотность на­столько велика, что имеет место ультрарелятивистский случай, и функция M(R)имеет почти постоянное (равное М ₀) значение (строго говоря, M(R) —> M₀ при R —> 0).

Сделанный вывод имеет фундаментальное значение для эволюции звезд. Сейчас ученые уверены, что при достижении звездой определенной массы она превращается в черную дыру. Сверхмассивные черные дыры находятся в центре практически каждой галактики. Полученную оценку критической массы звезды можно рассматривать лишь как приближенную, поскольку точное решение уравнения для гравитационного поля можно получить лишь в рамках общей теории относительности. Кроме того, после первых оценок модели нейтронных звезд были существенно уточнены.

Белые карлики представляют собой компактные звёзды с массами, сравнимыми с массой Солнца, но с радиусами в ~100 км и, соответственно, светимостями в ~10 000 раз меньшими солнечной. Плотность белых карликов составляет 10⁸—10¹² кг/м³, что почти в миллион раз выше плотности обычных звёзд главной последовательности.

Высокая плотность белых карликов оставалась необъяснимой в рамках классической физики и астрономии и нашла объяснение лишь в рамках квантовой механики после появления статистики Ферми — Дирака. В 1926 году Фаулер в статье «Плотная материя» («On dense matter», Monthly Notices R. Astron. Soc. 87, 114—122) показал, что, в отличие от звёзд главной последовательности, для которых уравнение состояния основывается на модели идеального газа (стандартная модель Эддингтона), для белых карликов плотность и давление вещества определяются свойствами вырожденного электронного газа (ферми-газа).

Следующим этапом в объяснении природы белых карликов стали работы Якова Френкеля и Чандрасекара. В 1928 году Френкель указал, что для белых карликов должен существовать верхний предел массы, и в 1931 году Чандрасекар в работе «Максимальная масса идеального белого карлика» («The maximum mass of ideal white dwarfs», Astroph. J. 74, 81—82) показал, что существует верхний предел масс белых карликов, то есть эти звёзды с массой выше определённого предела неустойчивы (предел Чандрасекара) и должны коллапсировать.

Нейтро́нная звезда́ — астрономический объект, являющийся одним из конечных продуктов эволюции звёзд, состоящий из нейтронной сердцевины и сравнительно тонкой (∼1 км) коры вырожденного вещества, содержащей тяжёлые атомные ядра. Масса нейтронной звезды практически такая же, как и у Солнца, но радиус составляет около 10 км. Поэтому средняя плотность вещества такой звезды в несколько раз превышает плотность атомного ядра (которая для тяжёлых ядер составляет в среднем 2,8·10¹⁷ кг/м³). Считается, что нейтронные звезды рождаются во время вспышек сверхновых. Силы тяготения в нейтронных звёздах уравновешиваются давлением вырожденного нейтронного газа.

2.5. Вырожденный Бозе-газ. Экспериментальное наблюдение Бозе-Эйнштейновской конденсации

При низких температурах свойства Бозе-газа не имеет ничего общего со свойствами Ферми-газа. Это заранее очевидно из того, что у Бозе-газа состоянием наименьшей энергии, в котором газ находится при
Т = 0, должно быть состояние с Е = 0, в то время, как Ферми-газ при Т = 0 обладает отличной от нуля энергией.

Если при заданной концентрации N/V газа понижать его температуру, то химический потенциал (который можно найти по формуле, аналогичной Ферми)

(*)

будет увеличиваться, т.е. будучи отрицательным, уменьшатся по абсолютной величине.

Он достигает значения μ = 0 при температуре, определяемой соотношением

,

где z = ε /kТ – новая переменная.

Входящий сюда интеграл выражается через ξ – функцию Римана (табличный). Обозначая искомую температуру через Т ₀, получим

.

Заметим, что по структуре полученная формула напоминает выражение для энергии Ферми, но поскольку масса бозонов, как правило, значительно больше массы электронов, то температура T ₀ будет значительно меньше, чем температура Ферми для электронного газа.

При Т < Т ₀ уравнение (*) не имеет отрицательных решений, между тем как в статистике Бозе химический потенциал должен быть отрицательным при всех температурах (в противном случае число заполнения уровня окажется отрицательным).

Это кажущееся противоречие связано с тем, что в данных условиях не законен переход от суммирования к интегрированию, который выполнялся выше для статистики Ферми.

Действительно, при этом переходе первый член суммы e_к = 0 умножается на, то есть выпадает из суммы. Между тем при понижении температуры частицы должны скапливаться именно в этом состоянии с наименьшей энергией, пока при Т = 0 туда не попадут все они.

Математически это обстоятельство проявляется в том, что в сумме

при переходе к пределу µ®0 сумма всех членов ряда, за исключением первого стремится к конечному пределу, определяемому интегралом

,

а первый член с ε_к = 0 стремится к бесконечности. Устремляя µ не к нулю, а к некоторому малому конечному значению, можно, следовательно, предать указанному первому члену суммы требуемое конечное значение.

Поэтому в действительности при Т < T ₀ дело будет обстоять следующим образом. Частицы с энергией ε > 0 будут распределены по функции:

с µ = 0

.

Полное число частиц с энергиями ε > 0 будет, следовательно, равно

.

Остальные

частицы находятся в низшем состоянии, т.е. имеют энергию e = 0. Это явление называют конденсацией Бозе-Эйнштейна. Название происходит от аналогии с конденсацией газа в жидкость, однако здесь имеется в виду конденсация в импульсном пространстве.

Заметим, что само это явление было предсказано Эйнштейном, на основе полученного им ранее распределения для произвольных частиц с целым спином.

Энергия газа при Т < Т₀ определяется, конечно только теми частицами, которые имеют энергию больше ноля.

Полагая в

µ =0, имеем

.

Этот интеграл приводится к табличному, тогда получим

.

Отсюда теплоемкость

,

То есть теплоемкость пропорциональна Т^3/2. Интегрируя теплоемкость, находим энтропию

,

и свободную энергию F = E–TS = –2/3 E

Последний результат вполне естественен, так как при µ=0
F = N µ+Ω=Ω. Для давления P = – (∂ F /∂ V)_T имеем

.

Мы видим, что при Т < Т ₀ давление пропорционально Т ^5/2 и не зависит вовсе от объема. Это обстоятельство – естественно следствие того, что частицы, находящиеся в состоянии с e=0, не обладая импульсом, не дают никакого вклада в давление. В самой точке Т = Т₀ все перечисленные термодинамические величины непрерывны. Можно, однако, что производная от теплоемкости по температуре испытывает в этой точке скачок.

Аналогия с давлением в двухфазной системе для газа Ван-дер-Ваальса.

Удельная теплоемкость идеального Бозе-газа.

В каких системах можно наблюдать явление Бозе-конденсации? Во-первых, это должны быть бозоны с неравным нулю химическим потенциалом. Как будет показано ниже, фотоны, являясь бозонами, имеют химический потенциал, равный нулю. Поэтому для излучения такой эффект не имеет места. С другой стороны, это должна быть идеальная система, в которой взаимодействие между частицами мало (все полученные нами формулы выведены именно в этом предположении). Последнее означает, что переход к сверхтекучему состоянию в жидком гелии, происходящий при T» 2,2 К не может быть интерпретирован как конденсация Бозе-Эйнштейна, поскольку в жидкости взаимодействие между атомами велико. И хотя связь между Бозе-конденсацией и переходом гелия в сверхтекучее состояние существует, этот случай требует отдельного рассмотрения.

Дата добавления: 2014-01-04