Статистический вывод закона Стефана-Больцмана

Этот закон был открыт Стефаном (австрия) экспериментально в 1879 году путем измерения теплоотдачи платиновой проволоки. Теоретическое обоснование этог закона было дано учеником Стефана Больцманом в 1884 году на основе следствий теории электромагнитного поля Максвелла.

Рассмотрим излучение фотонов с поверхности абсолютно черного тела. Найдем сначала распределение вылетающих фотонов по углам. Пусть частицы вылетают из точки А (рис.). Выделим сферу радиуса R с центром в этой точке. В равновесии все направления полета фотонов равновероятны. Это означает, что вероятность для фотона попасть в какую-либо часть полусферы будет равна отношению:

,

где dS – элементарная площадка на полусфере, а в знаменателе стоит площадь полусферы.

Выделим элементарную площадку для фотонов, угол отклонения которых от вертикали находится в интервале (Θ, Θ+dΘ):

,

где dl – элемент дуги окружности.

Имея в виду, что

,

а так же то, что

,

получим:

,

.

Это и есть функция распределения вылетающих фотонов по углам. Легко убедиться в том, что она нормирована. Таким образом, можно сделать вывод о том, что фотоны вылетают главным образом с большими углами от вертикали.

Найдем плотность потока энергии излучения – количество энергии, излучаемой в секунду с единицы поверхности.

Выделим вблизи поверхности, площадью S малый объем высотой cdt и найдем, сколько энергии из этого объема упадет на стенку.

В этом объеме заключена энергия:

.

Однако на стенку попадет только часть этой энергии. Во-первых, нас будут интересовать только фотоны, имеющие положительную составляющую скорости по оси x (их ровно половина). С другой стороны, на основе распределения фотонов по углам можно записать:

.

Здесь cosΘ появляется в результате проецирования скорости на ось x.

Введем плотность потока энергии:

.

Таким образом, для плотности потока энергии получим:

.

Интегрируя по углам, получим:

.

Но поскольку ранее было получено, что

,

то окончательно получаем Закон Стефана-Больцмана:

.

2.7. Связь квантовых и классических распределений Гиббса

Для перехода от квантовых распределений к классическим распределениям надо заменить суммирование по всем возможным микросостояниям квантовой макроскопической системы интегрированием в многомерном фазовом пространстве. Чтобы осуществить такой переход надо определить элементарную ячейку в фазовом пространстве.

Рассмотрим движение одной частицы в потенциальном поле. Каждое состояние в этом случае характеризуется набором трех квантовых чисел:. При этом каждому состоянию в трехмерном фазовом пространстве отвечает объем, т.к. ввиду соотношения неопределенностей точнее положение точки определить нельзя. Таким образом, на одну степень свободы приходится объем.

В квантовой теории показано, что в произвольной системе с N степенями свободы (при рассмотрении только поступательных степеней свободы) при переходе к классическому приближению в качестве элементарной ячейки надо использовать.

Поэтому заменим суммирование по квантовым числам интегрированием по фазовому пространству: (движение атома как целого).

Штрих означает, что интегрирование проводится не по всему фазовому пространству, а лишь по тем его областям, которые соответствуют физически различимым состояниям.

В классической системе одинаковых частиц они считаются различимыми, то есть их можно перенумеровать и проследить за их траекториями. В квантовой механике показано, что частицы являются тождественными (неразличимыми), а проследить за траекториями частиц невозможно. То есть если рассмотреть возможные варианты распределения, например, трех частиц по трем ячейкам, то в классической механике состояния, отвечающие разным номерам частиц, считаются разными, а в квантовой механике все они представляют собой одно состояние.

КМ

Одно микросостояние

КЛ

N!

и т.д.

Рис.2.1

При вычислении статистического интеграла удобно распространить интегрирование на всю область фазового пространства. При этом состояния, отличающиеся лишь перестановкой частиц (неразличимых в квантовой механике) будут учитываться N! раз. Поэтому разделим статистический интеграл на N!. Это означает, что условием перехода к классической статистической теории будет замена:

,

а статистическая сумма примет вид

.

Заметим, что это выражение безразмерно (в отличие от ранее полученного в классической статистической физике).

Тогда можно ввести безразмерную функцию распределения в классической теории

.

Условие её нормировки:.

Во многих случаях (например, для нахождения уравнений состояний) это различие на не является существенным. Однако, при расчете энтропии оно оказывается принципиальным.

Дата добавления: 2014-01-04