Параметрические уравнения плоскости

Параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку компланарно двум неколлинеарным между собой векторам:

, , в общей декартовой системе координат имеют вид:

Доказательство. Произвольная точка пространства лежит на данной плоскости тогда и только тогда, когда векторы

,

и компланарны, иначе, когда они линейно зависимы. Но так как векторы и неколлинеарны, то вектор является линейной комбинацией векторов и

.

Переходя к координатам, получим:

откуда и следует искомое соотношение.

Замечание 1. Параметры и имеют следующее геометрическое значение: это общие декартовы координаты точки М данной плоскости в системе координат: где - начало координат, и - масштабные векторы соответственно первой и второй осей координат (см.рис).

Замечание 2. Если ; - радиусы-векторы точек и М, то соотношение можно переписать так

; или .

Это уравнение называется векторным параметрическим уравнением плоскости, проходящей через точку компланарно двум неколлинеарным между собой векторам и .

Дата добавления: 2014-01-07